Ciąg arytmetyczny cz. 2 [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Zadanie Maturalne 1
Przykład 1. [matura, czerwiec 2014]
Liczby: $latex 6,~2x+4,~x+26$, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę tego ciągu.
Przykład 2
Liczby $latex 2,~-1,~-4$ są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, określonego dla liczb naturalnych $latex n\ge 1$. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.
Przykład 3
Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $latex {{20}^{{}^\circ }}$. Oblicz najmniejszy kąt tego czworokąta.
Przykład 4
Liczby $latex x,~y,~19$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym $latex x+y=8$. Oblicz $latex x$ i $latex y$.
Przykład 5
Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego, jeśli tworzą one ciąg o różnicy$latex \text{ }\!\!~\!\!\text{ }2$.
Przykład 6
Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego o obwodzie $latex 12$ cm, jeśli tworzą one ciąg arytmetyczny.
Przykład 7
Oblicz pole prostokąta o obwodzie $latex 14$ cm, jeśli długości jego dwóch sąsiednich boków oraz przekątna tworzą ciąg arytmetyczny.
Przykład 8
Oblicz obwód trójkąta prostokątnego, którego pole jest równe $latex 24~\text{c}{{\text{m}}^{2}}$ oraz długości jego boków tworzą ciąg arytmetyczny.
Przykład 9
Dana jest funkcja kwadratowa $latex f\left( x \right)={{x}^{2}}+3x-4$. Wykaż, że ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, określony za pomocą wzoru $latex {{a}_{n}}=f\left( {n+1} \right)-f\left( n \right)$ jest arytmetyczny.
Przykład 10
Dana jest funkcja kwadratowa $latex f\left( x \right)={{x}^{2}}+3x-4$. Wykaż, że ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, określony za pomocą wzoru $latex {{a}_{n}}=f\left( {n+1} \right)-f\left( n \right)$ jest arytmetyczny.
Przykład 11
Dany jest ciąg $latex {{a}_{n}}=\left( {n-1} \right)\left( {n-2} \right)\left( {n-3} \right)\left( {n-4} \right)\left( {n-5} \right)\left( {n-6} \right)+2n$. Uzasadnij, że ten ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.