Ciąg arytmetyczny [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Definicja 1
Niech $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ będzie ciągiem co najmniej trójwyrazowym. Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right),$ w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby $latex r$. Liczbę tę nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Przykład 1
Wyznacz różnicę poniższego ciągu arytmetycznego. Wypisz jego trzy następne wyrazy.
a) $latex 2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }9,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }16,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots $
b) $latex 3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1\frac{2}{3},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{1}{3},\ldots $
c) $latex 10,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots $
Przykład 2
Które z podanych ciągów są ciągami arytmetycznymi?
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=5$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=2\text{n}+1$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}$
d) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\sqrt{{5\text{n}}}$
e) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{{{\text{n}}^{2}}-16}}{{\text{n}+4}}$
f) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{2\text{n}}}{{{{\text{n}}^{2}}+3}}$
g) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{{{\text{n}}^{2}}+4\text{n}+4}}{{\text{n}+2}}$
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ o pierwszym wyrazie $latex {{a}_{1}}$ i różnicy $latex r$ ma postać:
$latex {{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left( {n-1} \right)r$
Przykład 3
Znajdź dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeśli:
a) $latex {{\text{a}}_{1}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }=-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ r}=5$
b) $latex {{\text{a}}_{1}}=6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ r}=-4$
c) $latex {{\text{a}}_{2}}=4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{6}}=12$
d) $latex {{\text{a}}_{4}}=0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{5}}=-0,5$
Przykład 4
Wyznacz $latex n$–ty wyraz ciągu arytmetycznego, jeśli:
a) $latex {{\text{a}}_{2}}=8,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{3}}=11$
b) $latex {{\text{a}}_{6}}=2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{{19}}}=15$
c) $latex {{\text{a}}_{{10}}}=8,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{{22}}}=12$
d) $latex {{\text{a}}_{{13}}}=0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{{29}}}=8$
Przykład 5
Oblicz pierwszy wyraz oraz różnicę ciągu arytmetycznego, jeśli:
a) $latex \left\{ {\begin{matrix}{{{\text{a}}_{2}}+{{\text{a}}_{5}}=7} \\ {{{\text{a}}_{3}}+{{\text{a}}_{8}}=11} \end{matrix}} \right.$
b) $latex \left\{ {\begin{matrix}{{{\text{a}}_{8}}+{{\text{a}}_{{13}}}=37} \\ {{{\text{a}}_{9}}-{{\text{a}}_{6}}=9} \end{matrix}} \right.$
Monotoniczność ciągu
Ciąg arytmetyczny $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ o różnicy $latex r$ jest:
• rosnący, gdy $latex r>0;$
• malejący, gdy $latex r<0$;
• stały, gdy $latex r=0.$
Przykład 6
Oblicz różnicę ciągu i określ jego monotoniczność. Podaj wzór ogólny tego ciągu.
a) $latex 7,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }10,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }13,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }16,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }19,\ldots $
b) $latex 1\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-\frac{1}{2},\ldots $
c) $latex 3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3\ldots $
Twierdzenie 1
Ciąg $latex ({{a}_{n}})$ jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz ciągu oprócz pierwszego i (ewentualnie ostatniego) jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego:
$latex {{a}_{n}}=\frac{{{{a}_{{n-1}}}+{{a}_{{n+1}}}~}}{2}$.
Przykład 7
Wykaż, że ciąg: $latex \left( {\sqrt{7}-3,~\sqrt{7},~\frac{2}{{3-\sqrt{7}}}} \right)$ jest ciągiem arytmetycznym.
Przykład 8
a) Liczby $latex \left| {7-3} \right|,~2+x,~~\left| {-13+7} \right|$ są kolejnymi wyrazami ciągu. Oblicz $latex x$.
b) Liczby $latex \left| {\sqrt{2}-5} \right|,~3-x,~~\left| {1-\sqrt{2}} \right|$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz $latex x$.
Przykład 9
a) Dla jakich wartości $latex x$ liczby $latex x-3,~{{x}^{2}},~5-x$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
b) Dla jakich wartości $latex x$ liczby: $latex 3x-1,~~{{x}^{2}}+5,~~5x+3$ są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego?
c) Dla jakich wartości $latex x$ liczby: $latex {{x}^{2}},~~2x-1,~~x-2$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
d) Dla jakich wartości $latex x$ liczby: $latex x-7,~{{x}^{2}}+x,~~2{{x}^{3}}+5x+3$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Przykład 10
a) Wstaw między liczby 24 i 56 siedem liczb tak, aby otrzymać ciąg arytmetyczny.
b) Wstaw między liczby 142 i 106 pięć liczb tak, aby otrzymać ciąg arytmetyczny.