'

Ciąg geometryczny – zadania

Ciąg geometryczny – szczegółowe omówienie zadań

Poniżej znajduje się 14 zadań omawiających ciąg geometryczny. Po tej lekcji bez problemu poradzisz sobie z zadaniami, które mogą pojawić się na maturze z matematyki lub na sprawdzianie z tego działu.

Przykład 1

Między liczby $latex 3$ oraz $latex 24$ wstaw dwie liczby tak, aby otrzymane liczby tworzyły ciąg geometryczny.

Przykład 2

Między liczby $latex 24$ oraz $latex \frac{3}{8}$ wstaw pięć liczb tak, aby otrzymać siedem kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

Przykład 3

Uzasadnij, że ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ nie jest ciągiem geometrycznym.
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=3\text{n}+5$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{1}{\text{n}}$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}+2\text{n}+3$
d) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=-{{\text{n}}^{2}}+3\text{n}+1$

Przykład 4

Suma trzech wyrazów tworzących ciąg geometryczny jest równa $latex 21$, a ich iloczyn wynosi $latex 216$. Znajdź ten ciąg.

Przykład 5

Objętość pewnego prostopadłościanu wynosi $latex 216$, a długości trzech różnych jego krawędzi tworzą ciąg geometryczny.
a) Uzasadnij, że jedna z tych krawędzi ma długość $latex 6$.
b) Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu, jeśli długości pozostałych dwóch krawędzi pozostają w stosunku $latex 1:4$.

Przykład 6

Trzy liczby x, y, 1 tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby 1, x, y tworzą ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.

Przykład 7

Pomiędzy liczby 2 oraz 9 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze były kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a trzy ostatnie kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Przykład 8

Pomiędzy liczby 3 oraz 18 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze były kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, a trzy ostatnie wyrazami ciągu arytmetycznego.

Przykład 9

Dany jest ciąg arytmetyczny $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ o różnicy $latex r\ne 0$ i pierwszym wyrazie $latex {{a}_{1}}=2$. Pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.

Przykład 10

Ciąg $latex \left( {x,~2x+3,~4x+3,~\ldots } \right)$ jest geometryczny.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz iloraz tego ciągu.
c) Podaj wzór ogólny tego ciągu.

Przykład 11

Liczby $latex 27,~x,~3$ są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz ósmy wyraz tego ciągu.

Przykład 12

Ciąg $latex \left( {9,~x,~19} \right)$ jest arytmetyczny, a ciąg $latex \left( {x,~42,~y,~z} \right)$ jest geometryczny. Oblicz $latex x,~y$ oraz $latex z$.

Przykład 13

a) Nieskończony ciąg geometryczny $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ jest określony wzorem $latex {{a}_{n}}=7\cdot {{3}^{{n+1}}}$ dla $latex n\ge 1$. Oblicz iloraz tego ciągu.
b) Ciąg geometryczny $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ określony jest wzorem $latex {{a}_{n}}=-\frac{{{{3}^{n}}}}{4}$ dla $latex n\ge 1$. Oblicz iloraz tego ciągu.
c) W rosnącym ciągu geometrycznym $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, określonym dla $latex n\ge 1$, spełniony jest warunek $latex {{a}_{4}}=3{{a}_{1}}$. Oblicz iloraz tego ciągu.

Przykład 14 [matura maj 2015, 5 pkt]

W nieskończonym ciągu arytmetycznym $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, określonym dla $latex n\ge 1$, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $latex 187$. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa $latex 12$.
Wyrazy $latex {{a}_{1}},~{{a}_{3}},~{{a}_{k}}$ ciągu $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ w podanej kolejności tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny $latex \left( {{{b}_{n}}} \right)$. Oblicz $latex k$.

Aby przejść do kolejnej lekcji omawiającej sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, kliknij w link.