Ciąg geometryczny [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Definicja 1
Niech $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ będzie ciągiem co najmniej trójwyrazowym.
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę $latex q$. Liczbę tę nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Przykład 1
Podaj iloraz poniższego ciągu geometrycznego.
a) $latex \left( {5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots } \right)$
b) $latex \left( {4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots } \right)$
c) $latex \left( {8,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\ldots } \right)$
d) $latex \left( {\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{9}{2},\frac{{27}}{2},\ldots } \right)$
Przykład 2
Oblicz wyrazy: $latex {{a}_{2}},~{{a}_{3}},{{a}_{4}},~{{a}_{5}}$ ciągu geometrycznego $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$.
a) $latex {{\text{a}}_{1}}=-\frac{1}{2},\text{q}=3$
b) $latex {{\text{a}}_{1}}=-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ q}=\frac{1}{2}$
c) $latex {{\text{a}}_{1}}=3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ q}=1$
d) $latex {{\text{a}}_{1}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ q}=\sqrt{3}$
Twierdzenie 1
Ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ o wyrazach różnych od zera jest ciągiem geometrycznym jeśli dla każdego $latex n\ge 1$ iloraz dwóch kolejnych wyrazów $latex \frac{{{{a}_{{n+1}}}}}{{{{a}_{n}}}}$ jest stały.
Przykład 3
Dane są dwa kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz jego iloraz.
a) $latex -\frac{{27}}{2}$ i $latex \frac{{81}}{2}$
b) $latex 3\sqrt{2}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$i $latex 5\sqrt{3}$
c) $latex \sqrt{5}-2$ i $latex \frac{1}{2}$
Twierdzenie 2
Jeśli $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $latex q,~q\ne 0$, to $latex {{a}_{n}}={{a}_{1}}\cdot {{q}^{{n-1}}}$ dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej $latex n$. Wzór ten nazywamy wzorem ogólnym ciągu geometrycznego.
Przykład 4
Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego:
a) $latex 8,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots $
b) $latex 6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }12,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }24,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots $
c) $latex -\frac{1}{3},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-3,\ldots $
d) $latex -\frac{7}{4},\frac{1}{2},-\frac{1}{7},\ldots $
Przykład 5
Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$.
a) $latex {{\text{a}}_{6}}=\frac{{32}}{{27}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ q}=-\frac{2}{3}$
b) $latex {{\text{a}}_{7}}=125,\text{ }\!\!~\!\!\text{ q}=5$
c) $latex {{\text{a}}_{{13}}}=\frac{1}{{8192}},\text{q}=\frac{1}{2}$
Przykład 6
Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego $latex q$, wiedząc, że:
a) $latex {{\text{a}}_{1}}=-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{{10}}}=-512$
b) $latex {{\text{a}}_{1}}=\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{6}}=512$
c) $latex {{\text{a}}_{1}}=6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{5}}=\frac{2}{{27}}$
Przykład 7
Wyznacz liczbę $latex n$ wyrazów ciągu geometrycznego, jeśli:
a) $latex {{\text{a}}_{1}}=25,\text{ }\!\!~\!\!\text{ q}=-3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{\text{n}}}=2025$
b) $latex {{\text{a}}_{1}}=\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ q}=\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{1}{{4096}}$
c) $latex {{\text{a}}_{1}}=54,\text{ }\!\!~\!\!\text{ q}=\frac{1}{3},{{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{2}{{243}}$
Przykład 8
Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego, jeśli:
a) $latex {{\text{a}}_{2}}=6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{3}}=18$
b) $latex {{\text{a}}_{4}}=2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{8}}=32$
c) $latex {{\text{a}}_{5}}=-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{8}}=-\frac{8}{{27}}$
d) $latex \left\{ {\begin{matrix} {{{\text{a}}_{6}}-{{\text{a}}_{4}}=1512} \\ {{{\text{a}}_{5}}+{{\text{a}}_{4}}=756} \end{matrix}} \right.$
e) $latex \left\{ {\begin{matrix} {{{\text{a}}_{5}}-{{\text{a}}_{3}}=1680} \\ {{{\text{a}}_{3}}+{{\text{a}}_{4}}=560} \end{matrix}} \right.$
Twierdzenie 3
Niech $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ oznacza ciąg o wyrazach różnych od zera. Ciąg ($latex {{a}_{n}})$ jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat każdego wyrazu ciągu $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, oprócz pierwszego (i ewentualnie ostatniego), jest równy iloczynowi wyrazu poprzedniego i następnego, tzn. $latex a_{n}^{2}={{a}_{{n-1}}}\cdot {{a}_{{n+1}}}$
Przykład 9
Sprawdź czy trzy dane liczby w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.
a) $latex \left| {{{{81}}^{{\frac{1}{4}}}}-\sqrt{{13}}} \right|,{{\sin }^{2}}{{7}^{{}^\circ }}+\text{co}{{\text{s}}^{2}}{{7}^{{}^\circ }},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left| {\frac{1}{{\sqrt[3]{{27}}-\sqrt{{13}}}}} \right|$
b) $latex \sqrt{5}-2,\frac{1}{2},\frac{{\sqrt{5}+2}}{4}$
Przykład 10
Przykład 11
Liczby $latex 1,~x,~7x-6$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz $latex x$.
Przykład 12
Liczby $latex x+1,~x+3,~{{x}^{2}}+7$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz $latex x$.
Przykład 13
Wykaż, że ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ jest geometryczny.
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=5\cdot {{3}^{\text{n}}}$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\left( {-\frac{2}{5}} \right)}^{\text{n}}}$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{5}^{{3\text{n}+4}}}$
d) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=3\cdot {{\left( {\sqrt{7}} \right)}^{{\text{n}-1}}}$
Przykład 14
Określ monotoniczność ciągów spełniających warunki zamieszczone w tabelce w filmie:
UWAGA
Ciąg $latex \left( {0,~0,~0,\ldots } \right)$ jest ciągiem geometrycznym, w którym $latex {{a}_{1}}=0$
i $latex q\in \mathbb{R}$.
Przykład 15
Określ monotoniczność ciągu określonego wzorem:
a) $latex {{a}_{n}}=\frac{3}{{{{5}^{n}}}}$
b) $latex {{a}_{n}}=-3\cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n}}$
c) $latex {{a}_{n}}={{\left( {-\frac{1}{5}} \right)}^{n}}$
d) $latex {{a}_{n}}={{7}^{{2n+1}}}$