'

Dwie proste przecięte trzecią prostą

Twierdzenie

Jeśli dwie proste położone na płaszczyźnie przetniemy trzecią prostą (tzw. sieczną), to utworzy się osiem kątów mających następujące nazwy:
$latex \left. {\begin{matrix}{{{\propto }_{3}},~{{\propto }_{5}}} \\ {{{\propto }_{4}},~{{\propto }_{6}}} \end{matrix}} \right\}$ kąty naprzemianległe wewnętrznie
$latex \left. {\begin{matrix}{{{\propto }_{1}},~{{\propto }_{7}}} \\ {{{\propto }_{2}},~{{\propto }_{8}}} \end{matrix}} \right\}$ kąty naprzemianległe zewnętrznie
$latex \left. {\begin{matrix}{{{\propto }_{1}},~{{\propto }_{5}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }} \\ {{{\propto }_{2}},~{{\propto }_{6}}} \\ {{{\propto }_{3}},~{{\propto }_{7}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }} \\ {{{\propto }_{4}},~{{\propto }_{8}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }} \end{matrix}} \right\}$ kąty odpowiadające

Twierdzenie

Jeśli dwie proste tworzą z trzecią prostą kąty naprzemianległe wewnętrznie równe, to te proste są równoległe.

Twierdzenie

Jeśli dwie proste równoległe są przecięte trzecią prostą, to kąty naprzemianległe wewnętrznie są równe.

Przykład 1

Wyznacz miarę kąta $latex \alpha $ zaznaczonego na rysunku, jeśli proste $latex k$ i $latex l$ są równoległe.

Przykład 2

Sprawdź czy prosta $latex k\parallel l$, jeśli

Przykład 3

Oblicz miary kątów wewnętrznych trójkąta $latex ABC$, jeśli

Przykład 4

Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta $latex ABC$

Przykład 5

Udowodnij, że jeśli $latex k\parallel l$ oraz $latex m$ i $latex n$ są dwusiecznymi kąta $latex \alpha $ i $latex \beta $ (zobacz rysunek), to te proste są prostopadłe.

Przykład 6

Na płaszczyźnie dane są cztery punkty $latex A,~B,~C,~D$ (zobacz rysunek). Prosta $latex AB$ tworzy z prostą $latex BC$ kąt $latex 40{}^\circ $, zaś kąt przyległy do kąta $latex ACB$ ma $latex 110{}^\circ $. Wykaż, że jeśli półprosta $latex AC$ jest dwusieczną kąta $latex BAD$, to prosta $latex AD$ jest równoległa do prostej $latex BC$.

Przykład 7

Prosta $latex m$ przecina dwie równoległe proste $latex k$, $latex l$ odpowiednio w punktach $latex B$ i $latex A$. Na prostej $latex k$ zaznaczono punkt $latex C$ w taki sposób, że $latex \left| {BC} \right|=\left| {AB} \right|$ (zobacz rysunek). Wykaż, że półprosta $latex A{{C}^{\to }}$ jest dwusieczną kąta $latex DAB.$

Przykład 8

W trójkącie $latex ABC$ dwusieczna kąta $latex B$ przecina bok $latex AC$ w punkcie $latex {{B}_{1}}$. Przez punkt $latex {{B}_{1}}$ prowadzimy równoległą do $latex BC$, przecinającą bok $latex AB$ w punkcie $latex {{C}_{1}}$. Wykaż, że $latex \left| {{{B}_{1}}{{C}_{1}}} \right|=\left| {B{{C}_{1}}} \right|$.

Przykład 9

W kątach przyległych $latex ABC$, $latex DBC$ poprowadzono dwusieczne i prostą, równoległą do $latex AD$, która przecina te dwusieczne odpowiednio w punktach $latex E$ i $latex F$, zaś ramię $latex BC$ przecina w punkcie $latex K$. Wykaż, że $latex \left| {EK} \right|=\left| {KF} \right|$.

Przykład 10

Dany jest kąt wypukły $latex AOB$ i punkt $latex P$ leżący na dwusiecznej tego kąta. Wykaż, że jeśli $latex \left| {PB} \right|=\left| {BO} \right|$, to prosta $latex PB$ jest równoległa do prostej $latex AO$.

Przykład 11

W czworokącie $latex ABCD$ długości boków $latex AD$ i $latex DC$ są równe. Wykaż, że jeśli przekątna $latex AC$ zawiera się w dwusiecznej kąta przy wierzchołku $latex A$ lub przy wierzchołku $latex C$, to czworokąt $latex ABCD$ jest trapezem.