'

Działania na zbiorach [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]

Definicja 1

Iloczynem/Częścią wspólną zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak:
$latex x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\wedge x\in B$

Przykład 1

Wyznacz $latex A\cap B$, jeśli
$latex A=\left\{ {-2,~-1,~0,~1,~5} \right\}$
$latex B=\left\{ {1,~3,~8} \right\}$

$latex A=\left\{ {-5,~-3,~-1,~1,~3,~5} \right\}$
$latex B=\left\{ {1,~2,~3,~4,~5} \right\}$

Definicja 2

Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi, gdy nie mają wspólnych elementów, czyli $latex A\cap B= O$.

Przykład 2

Czy zbiory A i B są rozłączne?
$latex A=\left\{ {3,~4,~5} \right\}$
$latex B=\left\{ {3,~4,~5,~6,~7} \right\}$

$latex A=\left\{ {-3,~-2,~-1} \right\}$
$latex B=\left\{ {1,~2,~3} \right\}$

Definicja 3

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B, matematycznie zapisujemy ją tak:
$latex x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\vee x\in B$

Przykład 3

Wyznacz $latex A\cup B$, jeśli
$latex A=\left\{ {-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5} \right\}$
$latex B=\left\{ {1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }8} \right\}$

$latex A=\left\{ {-5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5} \right\}$
$latex B=\left\{ {1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5} \right\}$

Definicja 4

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak:
$latex x\in A\backslash B\Leftrightarrow x\in A\wedge x\notin B$
Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też $latex A-B$.

Przykład 4

Wyznacz $latex A\backslash B$, $latex B\backslash A~$, jeśli
$latex A=\left\{ {-2,~-1,~0,~1,~5} \right\}$
$latex B=\left\{ {1,~3,~8} \right\}$

$latex A=\left\{ {-5,~-3,~-1,~1,~3,~5} \right\}$
$latex B=\left\{ {1,~2,~3,~4,~5} \right\}$

Definicja 5

Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru oznaczamy $latex A\text{ }\!\!’\!\!\text{ }$.
a) $latex {A}’=\left\{ {x:x\in U\wedge x\notin A} \right\}$
b) $latex {A}’=U\backslash A$

Przykład 5

Niech $latex U=\left\{ {1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9} \right\}$. Potraktujmy U jako przestrzeń. Wyznacz zbiory $latex A\text{ }\!\!’\!\!\text{ }$, $latex {B}’$, jeśli
a) $latex A=\left\{ {3,~6,~9} \right\}$
b) $latex B=\left\{ {1,~3,~5,~7,~9} \right\}$

Przykład 6

Wyznacz zbiory $latex A\cup B$, $latex A\cap B$, $latex A\backslash B$, $latex B\backslash A$, jeśli:

$latex A$ – zbiór naturalnych dzielników liczby $latex 8$,
$latex B$ – zbiór naturalnych dzielników liczby $latex 6$.

$latex A=\left\{ {5,~7,~9,~11} \right\}$
$latex B=\left\{ {7,~9} \right\}$

$latex A=\left\{ {-4,-3,-1,~1} \right\}$
$latex B=\left\{ {-2,-1,~0,~1,~2} \right\}$

Przykład 7

Na podstawie diagramu wyznacz zbiory $latex A$, $latex B$, $latex A\cup B$, $latex A\cap B$, $latex A\backslash B$, $latex B\backslash A.$

Przykład 8

Zaznacz na diagramie zbiór
a) $latex \text{A}\cap \text{B}\cap \text{C}$
b) $latex \left( {\text{A}\cap \text{C}} \right)\backslash \text{B}$
c) $latex \text{C}\backslash \left( {\text{A}\cap \text{B}} \right)$
d) $latex \left( {\text{A}\cap \text{B}} \right)\cup \left( {\text{A}\cap \text{C}} \right)$

Przykład 9

W klasie I b jest 34 uczniów, wśród których 24 lubi matematykę, 16 lubi informatykę, 10 lubi język polski. W tej liczbie 12 lubi zarówno informatykę i matematykę, 5 lubi matematykę i język polski, oraz 3 lubi informatykę i język polski.
Dwie osoby w tej klasie lubią wszystkie te przedmioty.
a) Ile osób w klasie I b nie lubi żadnego z tych przedmiotów?
b) Ile osób lubi tylko matematykę?
c) Ile osób lubi tylko informatykę i język polski?