Dziedzina funkcji liczbowej [ROZSZERZENIE]
Wstęp
Przykład 1
Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}-1}}{{\text{x}+3}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{6-\text{x}}}{{2\text{x}-4}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{3\text{x}}}{{\left( {\text{x}+1} \right)\left( {\text{x}-3} \right)}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{5}{{\left( {2\text{x}-1} \right)\left( {3\text{x}+4} \right)}}$
Przykład 2
Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{3}{{{{\text{x}}^{2}}-16}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4\text{x}-1}}{{25{{\text{x}}^{2}}-36}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{8}{{9-4{{\text{x}}^{2}}}}$
Przykład 3
Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{3\text{x}-1}}{{{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}+1}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4{{\text{x}}^{2}}}}{{{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}+4}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{2\text{x}+3}}{{{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}+9}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{15}}{{{{\text{x}}^{2}}-20\text{x}+100}}$
Przykład 4
Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{36}}{{25{{\text{x}}^{2}}-20\text{x}+4}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4-\text{x}}}{{9{{\text{x}}^{2}}+12\text{x}+4}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}}}{{36{{\text{x}}^{2}}-12\text{x}+1}}$
Przykład 5
Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{4}{{{{\text{x}}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}+3\text{x}-1}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{2\text{x}-1}}{{27-27\text{x}+3{{\text{x}}^{2}}-{{\text{x}}^{3}}}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4+\text{x}}}{{8{{\text{x}}^{3}}+12{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}+1}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{16}}{{1-15\text{x}+75{{\text{x}}^{2}}-125{{\text{x}}^{3}}}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{3}}+6}}{{{{\text{x}}^{3}}+18{{\text{x}}^{2}}+108\text{x}+216}}$
Przykład 6
Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex f\left( x \right)=\frac{5}{{{{\text{x}}^{3}}+{{\text{x}}^{2}}+\text{x}+1}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{3-{{\text{x}}^{2}}}}{{{{\text{x}}^{3}}+{{\text{x}}^{2}}-9\text{x}-9}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}+\text{x}}}{{{{\text{x}}^{3}}-{{\text{x}}^{2}}-16\text{x}+16}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{2\text{x}+4}}{{{{\text{x}}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}+12}}$
Przykład 7
Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{3}{{{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}+3}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{5\text{x}-1}}{{{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}+5}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4\text{x}+3}}{{{{\text{x}}^{2}}-8\text{x}+12}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{5{{\text{x}}^{2}}}}{{{{\text{x}}^{2}}-5\text{x}+4}}$
Przykład 8
Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex f\left( x \right)=\sqrt{{3-x}}$
b) $latex f\left( x \right)=\sqrt{{2x-1}}$
c) $latex f\left( x \right)=\sqrt{{6-2x}}$
d) $latex f\left( x \right)=\sqrt{{3x+12}}$
e) $latex f\left( x \right)=\sqrt{{{{x}^{2}}+5}}$
f) $latex f\left( x \right)=\sqrt{{5{{x}^{2}}}}$
Przykład 9
Wyznacz dziedzinę funkcji jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\sqrt{{\text{x}+4}}}}{\text{x}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}+2}}{{\sqrt{{\text{x}-2}}}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\sqrt{{\text{x}+5}}}}{{\sqrt{{3-\text{x}}}}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\sqrt{{4\text{x}-4}}}}{{\sqrt{{2-\text{x}}}}}$
Przykład 10
Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{5-\text{x}}}{{3\text{x}-6}}+\frac{4}{{\text{x}+1}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{4}{{\sqrt{\text{x}}}}+\frac{2}{{\text{x}-5}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{3\text{x}}}{{4\text{x}-8}}+\sqrt{{5\text{x}-1}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}}}{{\sqrt{{\text{x}-2}}}}+\sqrt{{12-4\text{x}}}$
Przykład 11
Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\sqrt{{\left| {\text{x}-3} \right|-4}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\sqrt{{6-\left| {\text{x}-2} \right|}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\sqrt{{\left| {\text{x}+2} \right|-5}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\sqrt{{3-\left| {\text{x}+1} \right|}}$
Przykład 12
Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{4}{{\left| \text{x} \right|-3}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{5\text{x}}}{{\left| {\text{x}+2} \right|}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{3-\text{x}}}{{\left| {\text{x}+2} \right|+1}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}+3}}{{\left| {\text{x}+2} \right|-4}}$
Przykład 13
Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{\text{x}}{{\sqrt{{\left| \text{x} \right|-3}}}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{2\text{x}-1}}{{\sqrt{{\left| {\text{x}+2} \right|}}}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}+1}}{{\sqrt{{3-\left| {\text{x}-2} \right|}}}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{4}{{\sqrt{{\left| {\text{x}+3} \right|+4}}}}$
Przykład 14
Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}+3}}{{{{\text{x}}^{2}}+10\text{x}+25}}+\frac{1}{{\sqrt{{6-\text{x}}}}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\sqrt{{4-\text{x}}}}}{{\sqrt{{\text{x}-1}}}}+\frac{{3\text{x}}}{{{{\text{x}}^{2}}-4}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{2\text{x}-3}}{{\text{x}\sqrt{{2\text{x}+5}}}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{3}{{\text{x}\sqrt{{3\text{x}+2}}}}+\frac{{3\text{x}-1}}{{{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}+9}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\sqrt{{\text{x}+1}}}}{{{{\text{x}}^{2}}+10\text{x}+24}}+\sqrt{{12-\text{x}}}$
Przykład 15
Podaj przykład wzoru funkcji, do której dziedziny nie mogą należeć podane liczby
a) $latex 3$
b) $latex -2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5$
c) $latex -1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3$
d) liczby dodatnie
e) liczby większe od $latex 2$
f) liczby nie większe od $latex 4$
Przykład 16
Wyznacz parametr $latex k$ tak, aby dziedziną funkcji $latex f$ był podany zbiór $latex {{D}_{f}}$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{3}{{\left( {\text{x}+2} \right)\left( {\text{x}-\text{k}} \right)}}$, $latex {{\text{D}}_{\text{f}}}=\mathbb{R}-\left\{ {-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3} \right\}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {4\text{x}-1} \right)}}{{\left( {\text{x}-3} \right)\left( {\text{x}+\text{k}} \right)}}$, $latex {{\text{D}}_{\text{f}}}=\mathbb{R}-\left\{ {-5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3} \right\}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\sqrt{{3\text{x}+6\text{k}}}$, $latex {{\text{D}}_{\text{f}}}=\langle 1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty )$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{2-\text{x}}}{{\sqrt{{2\text{k}-\text{x}}}}}$, $latex {{\text{D}}_{\text{f}}}=\left( {-\infty ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4} \right)$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{{\text{x}-\text{k}}}+\sqrt{{\text{x}-2}}$, $latex {{\text{D}}_{\text{f}}}=\langle 2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4)\cup \left( {4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty } \right)$
Przykład 17
Wyznacz parametr $latex k$, dla którego dziedziną funkcji $latex f$ jest podany obok wzoru funkcji zbiór $latex {{D}_{f}}$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4\text{x}}}{{\left| {\text{x}-\text{k}} \right|-1}}$, $latex {{\text{D}}_{\text{f}}}=\mathbb{R}-\left\{ {-3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-5} \right\}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{2-\text{x}}}{{\left| {\text{x}-1} \right|-\text{k}}}$, $latex {{\text{D}}_{\text{f}}}=\mathbb{R}-\left\{ {-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3} \right\}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\sqrt{{\left| {\text{x}+\text{k}} \right|-2}}$, $latex {{\text{D}}_{\text{f}}}=(-\infty ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-5\rangle \cup \langle -1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty )$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}+2}}{{\sqrt{{3\text{k}-\left| {3-\text{x}} \right|}}}}$, $latex {{\text{D}}_{\text{f}}}=\langle -3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ } 9\rangle$