'

Funkcja kwadratowa – zastosowania

Wstęp

Jak się wyznacza wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej?

Przykład 1

Dany jest prostokąt o bokach długości $latex 1$ i $latex 3$. Krótszy bok tego prostokąta zwiększono o $latex x$, a dłuższy zmniejszono o $latex x$ i w ten sposób otrzymano nowy prostokąt.
a) Wyznacz wzór funkcji $latex f$ opisującej pole nowego prostokąta w zależności od $latex x$.
b) Podaj dziedzinę funkcji.
c) Przedstaw wzór funkcji w postaci kanonicznej.
d) Naszkicuj wykres funkcji $latex f$.

Przykład 2

Dany jest kwadrat o boku $latex 2$. Jeden z jego boków zwiększono o $latex x$, a drugi zmniejszono o $latex x$ i w ten sposób otrzymano nowy prostokąt.
a) Wyznacz wzór funkcji $latex f$ opisującej pole tego prostokąta w zależności od $latex x$
b) wyznacz dziedzinę tej funkcji.
c) Przedstaw wzór funkcji $latex f$ w postaci kanonicznej.
d) Oblicz pole prostokąta dla $latex x=\frac{1}{2}$.
e) Wyznacz wymiary prostokąta o polu $latex \frac{5}{4}$.
f) Na podstawie wykresu ustal czy funkcja przyjmuje wartość najmniejszą czy największą.

Przykład 3

Rozważmy wszystkie trójkąty, których suma długości podstawy $latex x$ i wysokości poprowadzonej na podstawę jest równa $latex 8$.
a) Wyznacz wzór funkcji $latex f$ opisującej pole takiego trójkąta w zależności od $latex x$ i określ jej dziedzinę.
b) Oblicz pole trójkąta dla $latex x=3$.
c) Naszkicuj wykres funkcji $latex f$.
d) Ustal czy dana funkcja $latex f$ osiąga wartość największą. Jeśli tak, to dla jakiego argumentu jest ona przyjmowana i ile jest równa.

Przykład 4

Rozważmy wszystkie trójkąty prostokątne, których suma długości przyprostokątnych $latex x$ i $latex y$ jest równa $latex 10$.
a) Wyznacz wzór funkcji opisującej pole tego trójkąta w zależności od $latex x$.
b) Oblicz pole tego trójkąta dla $latex x=6$.
c) Dla jakiej wartości $latex x$ pole tego trójkąta będzie równe $latex 3.$
d) Czy funkcja pola osiąga największą wartość. Jeśli tak, to dla jakiego argumentu jest ona przyjmowana.

Przykład 5

Który z prostokątów o obwodzie $latex 20$ ma największe pole?

Przykład 6

Liczba $latex 6~$ jest różnicą dwóch liczb $latex x$ i $latex y$.
a) Wyznacz wzór funkcji $latex f$ określającej sumę kwadratów tych liczb w zależności od $latex x$.
b) Podaj dziedzinę funkcji $latex f$.
c) Oblicz wartość funkcji $latex f$ dla $latex x=3$.
d) Przedstaw wzór funkcji w postaci kanonicznej.
e) Czy funkcja $latex f$ przyjmuje wartość najmniejszą? Jeśli tak, to podaj tę wartość i dla jakiego argumentu jest przyjmowana.

Przykład 7

Liczbę $latex 100$ przedstaw w postaci sumy dwóch składników tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

Przykład 8

Uczniowie klasy 1b mają do dyspozycji linę i chcą przy brzegu plaży wytyczyć kąpielisko w kształcie prostokąta o największej powierzchni. Jakie wymiary będzie miało to kąpielisko, jeżeli lina ma długość:
a) $latex 100\text{m}$,
b) $latex 4\text{k}$?

Przykład 9

Z prostokątnej kartki o wymiarach $latex 20$cm $latex \times 30$cm wycinamy w rogach kwadraty o boku długości $latex x$ cm. Następnie po zgięciu powstałych brzegów tworzymy prostopadłościenne pudełko.

a) Wyznacz wzór funkcji opisującej pole powierzchni bocznej tego pudełka w zależności od $latex x$.
b) Podaj dziedzinę tej funkcji.
c) Oblicz dla jakiego $latex x$ pole powierzchni bocznej tego pudełka będzie największe. Oblicz to pole.

Przykład 10

Bok kwadratu $latex ABCD$ ma długość $latex 1$. Na bokach $latex BC$ i $latex CD$ wybrano odpowiednio punkty $latex E$ i $latex F$ umieszczone tak, by
$latex \left| {CE} \right|=2\left| {DF} \right|$. Oblicz wartość $latex x=\left| {DF} \right|$, dla której pole trójkąta $latex AEF$ jest najmniejsze.

Przykład 11

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa $latex 24$, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Przykład 12

Dany jest kwadrat $latex ABCD$ o boku równym $latex 2$. Na bokach $latex BC$ i $latex CD~$wybrano odpowiednio punkty $latex E$ i $latex F$, różne od wierzchołków kwadratu, takie że $latex \left| {CE} \right|=\left| {DF} \right|=x$. Oblicz wartość $latex x$, dla której pole trójkąta $latex AEF~$jest najmniejsze i oblicz to pole.

Przykład 13

Dany jest odcinek $latex AB~$o długości $latex 10.$ Rozpatrujemy wszystkie sześciokąty foremne $latex ACDMEF$ i trójkąty równoboczne $latex MBG$, których wspólny wierzchołek $latex M$ leży na odcinku $latex AB$ (zobacz rysunek). Oblicz stosunek obwodu sześciokąta $latex ACDMEF$ do obwodu trójkąta $latex MBG$ w przypadku, gdy suma pól tych dwóch wielokątów jest najmniejsza.

Przykład 14

W trójkąt prostokątny o bokach długości $latex 6$ cm, $latex 8$cm, $latex 10$cm wpisujemy prostokąt (zobacz rysunek). Podaj wymiary prostokąta o największym polu.

Przykład 15

W trójkąt równoramienny o bokach długości $latex 16$ cm, $latex 10$ cm, $latex 10$ cm wpisujemy prostokąt (zobacz rysunek). Podaj wymiary takiego prostokąta, który będzie miał największe pole.

Przykład 16

Drut o długości $latex 140$ cm dzielimy na dwie części. Z pierwszej części tworzymy brzeg kwadratu, a z drugiej brzeg prostokąta, w którym stosunek długości boków jest równy $latex 3:1$.
Zastanów się jak należy podzielić ten drut, aby suma pól kwadratu i prostokąta była najmniejsza.