'

Funkcja logarytmiczna i jej własności [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]

Definicja

Funkcję postaci $latex f\left( x \right)={{\log }_{a}}x$, gdzie $latex a>0$,
$latex a\ne 1$ określoną dla $latex x\in \left( {0,~+\infty } \right)$ nazywamy funkcją logarytmiczną.

Przykład 1

Naszkicuj wykres funkcji:
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\log }_{2}}\text{x}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\log }_{3}}\text{x}$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\log }_{{\frac{3}{2}}}}\text{x}$,
a następnie na podstawie wykresu omów jej własności.

Przykład 2

Naszkicuj wykres funkcji:
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\log }_{{\frac{1}{2}}}}\text{x}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\log }_{{\frac{2}{3}}}}\text{x}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\log }_{{\frac{1}{4}}}}\text{x}$,
a następnie na podstawie wykresu omów jej własności.

Przykład 3

Do wykresu funkcji logarytmicznej $latex f\left( x \right)={{\log }_{a}}x$ należy punkt $latex A\left( {2\frac{1}{4},~-2} \right)$.
a) Wyznacz wzór tej funkcji.
b) Naszkicuj wykres tej funkcji.
c) Na podstawie wykresu podaj zbiór rozwiązań nierówności $latex f\left( x \right)\le 0$.

Przykład 4

Do wykresu funkcji logarytmicznej $latex f\left( x \right)={{\log }_{a}}x$ należy punkt $latex A\left( {2,~-\frac{1}{2}} \right)$.
a) Wyznacz wzór funkcji $latex f$.
b) Dla jakich argumentów funkcja $latex f$ przyjmuje wartości dodatnie.
c) Oblicz wartość funkcji $latex f$ dla argumentu $latex 2\sqrt{2}$.

Przykład 5

Porównaj liczby:
a) $latex {{\log }_{2}}3$ i $latex {{\log }_{2}}6$
b) $latex {{\log }_{3}}\sqrt{2}$ i $latex {{\log }_{3}}(\sqrt{2}-1)$
c) $latex {{\log }_{{\frac{1}{2}}}}\frac{7}{2}$ i $latex {{\log }_{{\frac{1}{2}}}}3\frac{1}{2}$
d) $latex {{\log }_{{0,6}}}2\frac{1}{2}$ i $latex {{\log }_{{0,6}}}2\frac{3}{4}$
e) $latex {{\log }_{{\frac{1}{2}}}}\frac{7}{3}$ i $latex {{\log }_{{\frac{1}{2}}}}2\frac{1}{{10}}$

Twierdzenie

Jeśli $latex a\in \left( {0,~1} \right)$, to $latex f\left( x \right)={{\log }_{a}}x$ jest funkcją malejącą.
Jeśli $latex a\in \left( {1,~+\infty } \right)$, to $latex f\left( x \right)={{\log }_{a}}x$ jest funkcją rosnącą.

Wniosek

Jeśli $latex a\in \left( {0,~1} \right)$ oraz $latex 0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, to $latex {{\log }_{a}}{{x}_{1}}>{{\log }_{a}}{{x}_{2}}$

Jeśli $latex a\in \left( {1,~+\infty } \right)$ oraz $latex 0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, to $latex {{\log }_{a}}{{x}_{1}}<{{\log }_{a}}{{x}_{2}}$

Przykład 6

Uporządkuj rosnąco liczby:
a) $latex {{\log }_{2}}5,{{\log }_{2}}1,{{\log }_{2}}7$
b) $latex \log \frac{1}{2},\log 6$, $latex \log 2\frac{1}{2}~~$
c) $latex {{\log }_{{\frac{3}{4}}}}2,{{\log }_{{\frac{3}{4}}}}3\frac{1}{2},{{\log }_{{\frac{3}{4}}}}\frac{1}{2}$
d) $latex {{\log }_{{\frac{1}{2}}}}\left( {\sqrt{2}+1} \right),2{{\log }_{{\frac{1}{2}}}}\sqrt{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1+{{\log }_{{\frac{1}{2}}}}2$

Przykład 7

Udowodnij poniższe nierówności
a) $latex \frac{1}{3}<\log 3<1$ b) $latex \frac{5}{2}>{{\log }_{2}}5>1$
c) $latex -1<{{\log }_{{\frac{1}{3}}}}2<-\frac{1}{2}$

Przykład 8

Określ dziedzinę funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\log }_{\text{x}}}(\text{x}-\frac{1}{2})$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\log }_{{\text{x}-1}}}\left( {3-\text{x}} \right)$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\log }_{{\text{x}+3}}}\left( {2-\text{x}} \right)$