Funkcje parzyste i nieparzyste [ROZSZERZENIE]
Czym jest funkcja parzysta?
Funkcja liczbowa $f$ jest funkcją parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $x$ należącej do dziedziny funkcji $f$ liczba $- x$ również należy do dziedziny tej funkcji oraz $f\left(-x \right) = f(x)$.
Uwaga
Wykresy funkcji parzystych są symetryczne względem osi $\text{OY}$.
Przykład 1
Wykaż na podstawie definicji, że funkcja jest parzysta
a) $f\left( x \right) = \frac{2}{x^{6}}$
b) $f\left( x \right) = 3x^{4}-x^{2}$
c) $f\left( x \right) = \frac{3}{x^{2}-9}$
d) $f\left( x \right) = \frac{2x^{6}+6x^{2}}{\left(-x+2 \right)\left( x+2 \right)}$
Czym jest funkcja nieparzysta?
Funkcja liczbowa $f$ jest funkcją nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $x$ należącej do dziedziny funkcji $f$ liczba $- x$ należy do dziedziny tej funkcji oraz$f\left(-x \right) =-f(x)$.
Uwaga
Wykresy funkcji nieparzystych są symetryczne względem początku układu współrzędnych.
Przykład 2
Wykaż na podstawie definicji, że funkcja jest nieparzysta
a) $f\left( x \right) = \frac{3x}{x^{2}-2}$
b) $f\left( x \right) = \frac{4}{x^{3}}$
c) $f\left( x \right) = \frac{5x^{3}}{4-x^{2}}$
d) $f\left( x \right) = \frac{x^{3}+6x}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}$
Twierdzenie
Jeśli funkcja $f$ jest funkcją nieparzystą oraz liczba $0$ należy do dziedziny tej funkcji, to $f\left( 0 \right) = 0$.
Przykład 3
Wykaż, że funkcja określona wzorem
$f\left( x \right) = \frac{x^{9}+5x+4}{2x^{2}+1}\ $, gdzie $x \in \mathbf{R}$ nie jest funkcją nieparzystą.
Przykład 4
Na podstawie narysowanych obok wykresów funkcji:
a) odczytaj dziedzinę funkcji
b) wskaż funkcje parzyste
c) wskaż funkcje nieparzyste
d) wskaż funkcje parzyste i nieparzyste jednocześnie
e) wskaż funkcje, które nie są ani parzyste ani nieparzyste.
Przykład 5
Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji parzystej $y = f(x)$, której dziedziną jest $\left\langle-5,\ 5 \right\rangle$.
Dorysuj brakujący fragment wykresu funkcji, a następnie podaj
a) miejsca zerowe funkcji
b) przedziały monotoniczności funkcji
c) zbiór wartości funkcji
d) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie
Przykład 6
Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji nieparzystej $y = f(x)$, której dziedziną jest przedział $(-5,\ -1) \cup (1,\ 5)$.
Dorysuj brakujący fragment wykresu funkcji, a następnie podaj
a) zbiór wartości tej funkcji
b) miejsca zerowe funkcji
c) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości niedodatnie
d) przedziały monotoniczności funkcji
Przykład 7
Udowodnij, że funkcja $f$ określona poniższym wzorem nie jest ani parzysta ani nieparzysta:
a) $f\left( x \right) = 4x-2$
b) $f\left( x \right) = \frac{x^{3}+5}{x}$
c) $f\left( x \right) = x^{2}-4x+1$
d) $f\left( x \right) = \frac{7-x}{\left( x+9 \right)\left( x-9 \right)}$
Przykład 8
Udowodnij, że funkcja $f\left( x \right) = 3\sqrt{x}-3\sqrt{- x}$ jest jednocześnie funkcją parzystą i nieparzystą.
Uwaga
Dowolną funkcję $f$ określoną w zbiorze $D$, symetrycznym względem punktu $O$, można zapisać jako sumę dwóch funkcji: jednej parzystej i drugiej nieparzystej (obie te funkcje są określone w zbiorze $D$).
Przykład 9
Dany wzór funkcji $f$ określonej w zbiorze $\mathbb{R}$ zapisz w postaci sumy wzorów dwóch funkcji: parzystej oraz nieparzystej.
a) $f\left( x \right) = 5x+3$
b) $f\left( x \right) = 7x^{2}+8x-1$
c) $f\left( x \right) = 4^{x}$
d) $f\left( x \right) = 2x^{3}-5x+3$
e) $f\left( x \right) = \frac{x^{6}-2x+3}{x^{6}+7}$
f) $f\left( x \right) = \frac{4x^{3}-1}{x^{2}+2}$
Przykład 10
Podaj przykład wzoru funkcji
I. parzystej
II. nieparzystej
której dziedziną jest zbiór:
a) $\mathbb{R}$
b) $\mathbb{R -}\{ 0\}$