'

Funkcje parzyste i nieparzyste

Czym jest funkcja parzysta?

Funkcja liczbowa $f$ jest funkcją parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $x$ należącej do dziedziny funkcji $f$ liczba $- x$ również należy do dziedziny tej funkcji oraz $f\left(-x \right) = f(x)$.

Uwaga

Wykresy funkcji parzystych są symetryczne względem osi $\text{OY}$.

Przykład 1

Wykaż na podstawie definicji, że funkcja jest parzysta

a) $f\left( x \right) = \frac{2}{x^{6}}$

b) $f\left( x \right) = 3x^{4}-x^{2}$

c) $f\left( x \right) = \frac{3}{x^{2}-9}$

d) $f\left( x \right) = \frac{2x^{6}+6x^{2}}{\left(-x+2 \right)\left( x+2 \right)}$

Czym jest funkcja nieparzysta?

Funkcja liczbowa $f$ jest funkcją nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $x$ należącej do dziedziny funkcji $f$ liczba $- x$ należy do dziedziny tej funkcji oraz$f\left(-x \right) =-f(x)$.

Uwaga

Wykresy funkcji nieparzystych są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

Przykład 2

Wykaż na podstawie definicji, że funkcja jest nieparzysta

a) $f\left( x \right) = \frac{3x}{x^{2}-2}$

b) $f\left( x \right) = \frac{4}{x^{3}}$

c) $f\left( x \right) = \frac{5x^{3}}{4-x^{2}}$

d) $f\left( x \right) = \frac{x^{3}+6x}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}$

Twierdzenie

Jeśli funkcja $f$ jest funkcją nieparzystą oraz liczba $0$ należy do dziedziny tej funkcji, to $f\left( 0 \right) = 0$.

Przykład 3

Wykaż, że funkcja określona wzorem

$f\left( x \right) = \frac{x^{9}+5x+4}{2x^{2}+1}\ $, gdzie $x \in \mathbf{R}$ nie jest funkcją nieparzystą.

Przykład 4

Na podstawie narysowanych obok wykresów funkcji:

a) odczytaj dziedzinę funkcji

b) wskaż funkcje parzyste

c) wskaż funkcje nieparzyste

d) wskaż funkcje parzyste i nieparzyste jednocześnie

e) wskaż funkcje, które nie są ani parzyste ani nieparzyste.

Przykład 5

Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji parzystej $y = f(x)$, której dziedziną jest $\left\langle-5,\ 5 \right\rangle$.

Dorysuj brakujący fragment wykresu funkcji, a następnie podaj

a) miejsca zerowe funkcji

b) przedziały monotoniczności funkcji

c) zbiór wartości funkcji

d) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie

Przykład 6

Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji nieparzystej $y = f(x)$, której dziedziną jest przedział $(-5,\ -1) \cup (1,\ 5)$.

Dorysuj brakujący fragment wykresu funkcji, a następnie podaj

a) zbiór wartości tej funkcji

b) miejsca zerowe funkcji

c) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości niedodatnie

d) przedziały monotoniczności funkcji

Przykład 7

Udowodnij, że funkcja $f$ określona poniższym wzorem nie jest ani parzysta ani nieparzysta:

a) $f\left( x \right) = 4x-2$

b) $f\left( x \right) = \frac{x^{3}+5}{x}$

c) $f\left( x \right) = x^{2}-4x+1$

d) $f\left( x \right) = \frac{7-x}{\left( x+9 \right)\left( x-9 \right)}$

Przykład 8

Udowodnij, że funkcja $f\left( x \right) = 3\sqrt{x}-3\sqrt{- x}$ jest jednocześnie funkcją parzystą i nieparzystą.

Uwaga

Dowolną funkcję $f$ określoną w zbiorze $D$, symetrycznym względem punktu $O$, można zapisać jako sumę dwóch funkcji: jednej parzystej i drugiej nieparzystej (obie te funkcje są określone w zbiorze $D$).

Przykład 9

Dany wzór funkcji $f$ określonej w zbiorze $\mathbb{R}$ zapisz w postaci sumy wzorów dwóch funkcji: parzystej oraz nieparzystej.

a) $f\left( x \right) = 5x+3$

b) $f\left( x \right) = 7x^{2}+8x-1$

c) $f\left( x \right) = 4^{x}$

d) $f\left( x \right) = 2x^{3}-5x+3$

e) $f\left( x \right) = \frac{x^{6}-2x+3}{x^{6}+7}$

f) $f\left( x \right) = \frac{4x^{3}-1}{x^{2}+2}$

Przykład 10

Podaj przykład wzoru funkcji

I. parzystej

II. nieparzystej

której dziedziną jest zbiór:

a) $\mathbb{R}$

b) $\mathbb{R -}\{ 0\}$