Funkcje różnowartościowe [ROZSZERZENIE]
Definicja
Funkcja liczbowa $f:X \rightarrow Y$ jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości. Oznacza to, że dla dowolnych argumentów $x_{1},x_{2}$ z warunku $x_{1} \neq x_{2}$ wynika, że $f(x_{1}) \neq f\left( x_{2} \right)$
Przykład 1
Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki. Czy funkcja $f$ jest różnowartościowa?
Przykład 2
Na rysunku są przedstawione wykresy pewnych funkcji. Która funkcja jest różnowartościowa, a która nie jest?
Przykład 3
Sprawdź, które funkcje są różnowartościowe.
a) $f\left( x \right) = \left| x+2 \right| -3,\ x \in \left \{ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1 \right\}$
b) $f\left( x \right) = \frac{x-3}{x+1},\ x \in \left \{ -3,\ -2,\ 0,\ 1 \right\}$
c) $f\left( x \right) = -x^{2}+3,\ x \in \left \{ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2 \right\}$
d) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ dla\ x \in (-\infty,\ 0) \\ \sqrt{x}+1\ dla\ x \in \left\langle 0,\ + \infty) \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ $
Przykład 4
Udowodnij, że funkcja $f\left( x \right) = 3x+5$, gdzie $x\mathbb{\in R}$ jest różnowartościowa.
Przykład 5
Udowodnij, że funkcja $f\left( x \right) = \frac{x+1}{x-3}$, gdzie $x\mathbb{\in R-\{}3\}$ jest różnowartościowa.
Definicja
Funkcja liczbowa $f:x \rightarrow y$ jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy z równości wartości tej funkcji wynika równość argumentów, to znaczy, że dla dowolnych argumentów $x_{1},x_{2}$ z równości $f\left( x_{1} \right) = f(x_{2})$ wynika równość $x_{1} = x_{2}$.
Przykład 6
Korzystając z definicji $2$ udowodnij, że funkcja $f\left( x \right) = \frac{5-x}{x+2}$ dla $x\mathbb{\in R-\{ -}2\}$ jest różnowartościowa.
Przykład 7
Wykaż, że funkcja $f$ jest różnowartościowa.
a) $f\left( x \right) = 2-x,$ $x\mathbb{\in R}$
b) $f\left( x \right) = \sqrt{3}x+4,x\mathbb{\in R}$
c) $f\left( x \right) = \frac{x-7}{5},x\mathbb{\in R}$
Przykład 8
Dana jest funkcja $f$. Wyznacz dziedzinę funkcji, a następnie udowodnij, że jest różnowartościowa.
a) $f\left( x \right) = \frac{3}{x}$
b) $f\left( x \right) = 2+\frac{7}{x}$
c) $f\left( x \right) = \frac{4}{x-3}+8\ $
d) $f\left( x \right) = 4-\frac{1}{x+5}$
e) $f\left( x \right)+\frac{3+x}{x-1}$
f) $f\left( x \right) = \frac{\sqrt{3}x+2}{2x+1}$
Przykład 9
Dana jest funkcja $f$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji, a następnie udowodnij, że ta funkcja jest różnowartościowa.
a) $f\left( x \right) = 4\sqrt{x}$
b) $f\left( x \right) =-3\sqrt{- x}$
c) $f\left( x \right) = \sqrt{x+4}$
d) $f\left( x \right) = 7\sqrt{5-x}$
e) $f\left( x \right) =-2\sqrt{x+6}+7$
Uwaga
Aby wykazać, że funkcja nie jest różnowartościowa, wystarczy wskazać dwa różne argumenty, dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość.
Przykład 10
Dana jest funkcja $f$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji, a następnie wykaż, że ta funkcja nie jest różnowartościowa
a) $f\left( x \right) = \sqrt{5}$
b) $f\left( x \right) = \frac{2}{3x^{2}-1}$
c) $f\left( x \right) = 4x^{2}-1$
d) $f\left( x \right) = 3\left| x \right|+2$
e) $f\left( x \right) = \left| x+6 \right|$
Przykład 11
Wiadomo, że funkcja $y = f(x)$ określona w zbiorze $\mathbb{R}$ jest różnowartościowa. Wykaż, że dla dowolnej, różnej od zera, wartości parametru $k$, funkcja $y = g(x)$, gdzie $g\left( x \right) = k \cdot f(x)$, jest też różnowartościowa.
Przykład 12
Naszkicuj wykres funkcji $f$, która spełnia jednocześnie warunki:
– dziedziną funkcji jest zbiór $D_{f} = \left\langle-4,\ + \infty \right.\ )$
– zbiorem wartości funkcji jest zbiór $ZW_{f} = \left\langle-2,\ + \infty \right.\ )$
– miejscem zerowym funkcji jest liczba $- 1$
– $f\left( 3 \right) = 4$
– funkcja jest różnowartościowa