'

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Definicja 1

Niech w trójkącie prostokątnym dany będzie kąt ostry $latex \alpha $. Wówczas:

a) Sinusem kąta ostrego $latex \alpha $ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $latex \alpha $ do długości przeciwprostokątnej.
b) Cosinusem kąta ostrego $latex \alpha $ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $latex \alpha $ do długości przeciwprostokątnej.
c) Tangensem kąta ostrego $latex \alpha $ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $latex \alpha $ do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $latex \alpha $.
d) Cotangensem kąta ostrego $latex \alpha $ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $latex \alpha $ do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $latex \alpha $.

Przykład 1

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta $latex \alpha $ w trójkącie prostokątnym.

Przykład 2

Dla trójkąta $latex ABC$ przedstawionego na rysunku oblicz wartości:
a) $latex \sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ },\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ },\text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }$
b) $latex \sin \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ },\cos \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ },\text{tg }\!\!\beta\!\!\text{ }$

Przykład 3

Wykorzystując dane z rysunku oblicz:
a) $latex 1+2\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cdot \cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$
b) $latex {{\left( {\text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\frac{{\text{sin }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}{{\text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}} \right)}^{2}}$

Przykład 4

Wykorzystując dane z rysunku oblicz:
a) $latex 4{{\sin }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cdot {{\cos }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\text{t}{{\text{g}}^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cdot \frac{{{{{\cos }}^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}{{{{{\sin }}^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}$

b) $latex (\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-\text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ })2$

c) $latex \frac{{\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}{{\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}$

d) $latex \frac{{\text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\frac{2}{{\text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}}}{{\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cdot \cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}$

Przykład 5

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego
o podanych bokach:
a) $latex 9,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2\sqrt{{14}}$
b) $latex 10,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }7,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{{51}}$

Przykład 6

Przekątna prostokąta o bokach długości $latex 9$ cm
i $latex 2\sqrt{{10}}$ cm dzieli prostokąt na dwa trójkąty. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.

Przykład 7

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej.

Przykład 8

Dany jest romb $latex ABCD$ o obwodzie równym $latex 40$ cm. Przekątne tego rombu przecinają się w punkcie $latex P$ oraz jedna z nich ma długość $latex 16$ cm. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta $latex APB$.

Przykład 9

W trapezie równoramiennym podstawy mają długość $latex 10$ cm i $latex 18$ cm, a wysokość $latex 3$ cm. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta zawartego między dłuższą podstawą trapezu oraz jego:
a) przekątną
b) ramieniem

Przykład 10

Dany jest sześcian o krawędzi $latex a$. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta $latex \alpha $.