'

Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego

Przykład 1

Do ramienia końcowego kąta $latex \alpha $ należy punkt $latex \left( {2,~3} \right).$ Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta.

Definicja

Niech $latex P\left( {x,~y} \right)$ będzie dowolnym punktem leżącym na ramieniu końcowym kąta
$latex \alpha \in 0,~180{}^\circ $, różnym od początku układu współrzędnych. Wówczas:
$latex \sin \alpha =\frac{y}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}}}$
$latex \cos \alpha =\frac{x}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}}}$
$latex \text{tg}\alpha =\frac{y}{x}~\left( {x\ne 0,~\text{tzn}.\alpha \ne 90{}^\circ } \right)$

Przykład 2

Do ramienia końcowego kąta należy punkt $latex \left( {-4,~3} \right).$ Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta.

Uwaga

• Dla $latex \alpha \in \left( {0,~90{}^\circ } \right)$ zachodzą nierówności $latex \sin \alpha >0,~~$ $latex \cos \alpha >0$, $latex \text{tg}\alpha >0$
• Dla $latex \alpha \in \left( {90,~180{}^\circ } \right)$ zachodzą nierówności $latex \sin \alpha >0,~~$ $latex \cos \alpha <0$, $latex \text{tg}\alpha <0$

Przykład 3

Do ramienia końcowego kąta $latex \alpha $ należy punkt $latex A$. Przedstaw ten kąt na rysunku i oblicz wartości jego funkcji trygonometrycznych.
a) $latex \text{A}\left( {-3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right)$
b) $latex \text{A}\left( {-6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }8} \right)$
c) $latex \text{A}\left( {-6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right)$

Przypomnienie

$latex \sin \alpha =\frac{y}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}}}$
$latex \cos \alpha =\frac{x}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}}}$
$latex \text{tg}\alpha =\frac{y}{x}~\left( {x\ne 0,~\text{tzn}.\alpha \ne 90{}^\circ } \right)$

Przykład 4

Punkt $latex A$ należy do ramienia końcowego kąta $latex \alpha $, a punkt $latex B$ do ramienia końcowego kąta $latex \beta $. Oblicz $latex \sin \alpha -\sin \beta $.
a) $latex \text{A}\left( {-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ B}\left( {1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3} \right)$
b) $latex \text{A}\left( {-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ B}\left( {5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right)$

Przykład 5

Wybierz dowolny punkt na ramieniu końcowym kąta $latex \alpha $ i oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta.
a) $latex \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=0{}^\circ $
b) $latex \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=90{}^\circ $
c) $latex \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=180{}^\circ $

Przykład 6

Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego o mierze $latex \alpha $, jeśli:
a) $latex \cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=-\frac{8}{{17}}$
b) $latex \sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{2}{3}$
c) $latex \text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }=-\frac{4}{3}$