Funkcje – wprowadzenie [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Definicja 1
Funkcją ze zbioru $latex X$ w zbiór $latex Y$ nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi $latex x\in X$ odpowiada dokładnie jeden element $latex y\in Y$
Przykład 1
Każdej liczbie ze zbioru $latex X=\{0,~1,~2,~3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5, 6,~7,~8,~9\}$ przyporządkowano liczbę ze zbioru $latex \left\{ {0,~1,~2,~3} \right\}$ będącą jej resztą z dzielenia przez $latex 4$. Przedstaw to przyporządkowanie za pomocą tabeli i grafu.
Przykład 2
Dane są zbiory $latex X=\left\{ {-3,~-2,~-1,~0,~1,~2,~3} \right\}$ i $latex Y=\left\{ {0,~1,~2,~3,~4,~9} \right\}$.
Funkcja $latex f$ ze zbioru $latex X$ w zbiór $latex Y$ przyporządkowuje każdej liczbie jej kwadrat. Przedstaw to przyporządkowanie za pomocą grafu i tabeli. Określ dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji.
Przykład 3
Funkcję $latex f:\left\{ {-4,~-3,~-2,~-1} \right\}\to \left\{ {\frac{1}{3},1,~3,~9} \right\}$ przedstawiono za pomocą tabelki:
Oblicz:
a) $latex \text{f}\left( {-2} \right)$
b) $latex \text{f}\left( {-4} \right)+\text{f}\left( {-1} \right)$
c) $latex 2\cdot \text{f}\left( {-2} \right)+3$
d) $latex \text{f}\left( {-4} \right)-2\cdot \text{f}\left( {-3} \right)$
Przykład 4
Na rysunku przedstawiony jest graf pewnej funkcji $latex f:X\to Y$.
a) Dla jakich argumentów wartość funkcji $latex f$ jest równa $latex 2$?
b) Jaką wartość funkcja $latex f$ przyjmuje dla argumentu $latex -1$?
c) Podaj wzór tej funkcji, określ jej dziedzinę oraz zbiór wartości.
Przykład 5
Wyjaśnij dlaczego na poniższych grafach nie przedstawiono funkcji.
Przykład 6
Funkcja $latex f$ jest opisana za pomocą tabelki:
a) Jaką wartość funkcja $latex f$ przyjmuje dla argumentu $latex 4$?
b) Podaj argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $latex 9$.
c) Podaj wzór funkcji $latex f$.
Przykład 7
Funkcja $latex f$ opisana jest za pomocą tabelki:
a) Jaką wartość przyjmuje funkcja $latex f$ dla argumentu $latex -1$?
b) Podaj dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości nie mniejsze niż $latex -2$.
c) Podaj wzór tej funkcji.
Przykład 8
Funkcja $latex f$ każdej liczbie ze zbioru $latex X=\left\{ {-3,~-2,~-1,~0,~1} \right\}$ przyporządkowuje jej kwadrat pomniejszony o $latex 2$.
a) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne?
b) Przedstaw tę funkcję za pomocą tabeli.
c) Oblicz wartość wyrażenia $latex {{\left[ {f\left( {-2} \right)+3\cdot f\left( 0 \right)} \right]}^{2}}$
Przykład 9
Funkcja $latex f$ każdej liczbie ze zbioru $latex \left\{ {-4,~-3,~-2,~0,~2,~3,~4} \right\}$ przyporządkowuje wartość bezwzględną powiększoną o $latex 5$.
a) Podaj wzór tej funkcji.
b) Przedstaw daną funkcję za pomocą zbioru uporządkowanych par.
Definicja 2
Miejscem zerowym funkcji $latex f$ nazywamy taki argument $latex x$, dla którego: $latex f\left( x \right)=0$
Przykład 10
Funkcja $latex f$ przedstawiona jest za pomocą tabeli:
a) Podaj miejsca zerowe tej funkcji.
b) Przedstaw daną funkcję za pomocą zbioru uporządkowanych par.
c) Naszkicuj wykres funkcji $latex f$ w prostokątnym układzie współrzędnych.