Funkcje wykładnicze [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Definicja 1
Funkcję postaci $latex f\left( x \right)={{a}^{x}}$, gdzie $latex a>0$ i $latex a\ne 1$, określoną dla $latex x\in R$, nazywamy funkcją wykładniczą.
Uwaga
Dla $latex a=1$ funkcja $latex f\left( x \right)={{a}^{x}}$ jest funkcją stałą $latex f\left( x \right)=1$
Przykład 1
Naszkicuj wykresy funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{2}^{\text{x}}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\text{x}}}$
Przykład 2
Naszkicuj wykres funkcji $latex f\left( x \right)={{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{x}}$. Oblicz wartość funkcji $latex f$ dla argumentu $latex -3$.
Przykład 3
Naszkicuj wykres funkcji $latex f\left( x \right)={{\left( {\frac{9}{4}} \right)}^{x}}$. Oblicz wartość tej funkcji dla argumentu $latex -{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{{-1}}}.$
Przykład 4
Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji: $latex f\left( x \right)={{3}^{x}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }g\left( x \right)={{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{x}}$, $latex h\left( x \right)={{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{x}}$
a) Dopasuj wzór do każdego wykresu.
b) Podaj współrzędne punktu wspólnego tych wykresów.
c) Oblicz wartość funkcji $latex h$ dla argumentów $latex 2,~-2,~-\frac{1}{2}.$
Przykład 5
Oblicz wartości funkcji $latex f$ dla$latex x\in \left\{ {-3,~-2,~-1,\frac{1}{2},\frac{3}{2}} \right\}$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{\text{x}}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{4}^{\text{x}}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{\text{x}}}$
Przykład 6
Wyznacz wzór funkcji $latex f\left( x \right)={{a}^{x}}$, jeśli punkt $latex A\left( {-2,~1\frac{7}{9}} \right)$ należy do tej funkcji, a następnie sprawdź czy punkty $latex B\left( {2,~{{{\left( {\frac{{16}}{9}} \right)}}^{{-1}}}} \right)$ i $latex C\left( {-3,\frac{{69}}{9}} \right)$ należą do wykresu funkcji $latex f$.
Przykład 7
Do wykresu funkcji wykładniczej $latex f\left( x \right)={{a}^{x}}$ należy punkt $latex A$. Naszkicuj ten wykres.
a) $latex \text{A}\left( {-2,\frac{1}{9}} \right)$
b) $latex \text{A}\left( {3,\frac{1}{8}} \right)$
c) $latex \text{A}\left( {-\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right)$
Monotoniczność funkcji wykładniczej
Funkcja $latex f\left( x \right)={{a}^{x}}$ jest:
– rosnąca dla $latex a>1$
– malejąca dla $latex 0<a<1$
Przykład 8
Uporządkuj rosnąco liczby:
a) $latex {{2}^{{-2}}}{{,2}^{{\frac{1}{3}}}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{2}^{{0,2}}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{2}^{{\sqrt{2}}}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{2}^{{1,41}}}$
b) $latex {{3}^{{0,3}}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{3}^{{-0,2}}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{3}^{{\frac{1}{4}}}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{3}^{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{3}^{{3,14}}}$
c) $latex {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{{-3}}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\left( {0,2} \right)}^{{-2}}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{{-\sqrt{2}}}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{5}^{{-\sqrt[3]{3}}}}$