'

Geometria płaska – pole trójkąta cz. 1

Wstęp

Trójkąt równoboczny – wzory
$latex P=\frac{{{{a}^{2}}\sqrt{3}}}{4}$

$latex h=\frac{{a\sqrt{3}}}{2}$

$latex r=\frac{1}{3}h$

$latex R=\frac{2}{3}h$

Trójkąt prostokątny – wzory
$latex P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$
$latex P=\frac{1}{2}\cdot {{h}_{c}}\cdot c$

$latex {{h}^{2}}=x\cdot y$
$latex R=\frac{1}{2}c$
$latex r=\frac{{a+b-c}}{2}$

Przykład 1

Oblicz długość wysokości trójkąta równobocznego o polu równym $latex 6\sqrt{3} \text{~cm}^2$.

Przykład 2

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest o $latex 8$ dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz:
a) długość boku tego trójkąta
b) długość wysokości trójkąta
c) pole tego trójkąta

Przykład 3

W trójkącie równoramiennym długość podstawy wynosi $latex 12$ cm, a wysokość poprowadzona na tę podstawę jest równa $latex 18$ cm.
Oblicz długości pozostałych wysokości.

Przykład 4

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość $latex 15$ cm i $latex 20$ cm. Oblicz długość wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną.

Przykład 5

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość $latex 18$ cm, a środkowa poprowadzona przeciwprostokątną ma długość $latex 24$ cm.
a) oblicz pole tego trójkąta
b) oblicz długość wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną

Przykład 6

W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów jest równy $latex \frac{3}{7}$. Oblicz pole tego trójkąta, jeśli:
a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy $latex 14$ cm
b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $latex 5$ cm

Pole trójkąta:

$latex P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin\alpha $

Przykład 7

Oblicz pole zaznaczonego trójkąta (zobacz rysunek na filmie).

Przykład 8

Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki mają długość $latex 6$ cm i $latex 12$ cm, a kąt między nimi ma miarę:
a) $latex 30{}^\circ $
b) $latex 60{}^\circ $
c) $latex 135{}^\circ $
d) $latex 150{}^\circ $

Przykład 9

W trójkącie, którego pole jest równe $latex 54 \text{~cm}^2$, dwa boki mają długość $latex 9$ cm i $latex 16$ cm. Oblicz sinus kąta zawartego między tymi bokami.

Przykład 10

W trójkącie rozwartokątnym boki przy kącie rozwartym $latex \alpha $ mają długość $latex 10$ cm i $latex 16$ cm, a pole trójkąta jest równe $latex 40\sqrt{3} \text{~cm}^2$. 
Oblicz $latex \alpha $.