Geometria płaska – pole trójkąta cz. 1 [ROZSZERZENIE]
Wstęp
Trójkąt równoboczny – wzory
$latex P=\frac{{{{a}^{2}}\sqrt{3}}}{4}$
$latex h=\frac{{a\sqrt{3}}}{2}$
$latex r=\frac{1}{3}h$
$latex R=\frac{2}{3}h$
Trójkąt prostokątny – wzory
$latex P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$
$latex P=\frac{1}{2}\cdot {{h}_{c}}\cdot c$
$latex {{h}^{2}}=x\cdot y$
$latex R=\frac{1}{2}c$
$latex r=\frac{{a+b-c}}{2}$
Przykład 1
Oblicz długość wysokości trójkąta równobocznego o polu równym $latex 6\sqrt{3} \text{~cm}^2$.
Przykład 2
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest o $latex 8$ dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz:
a) długość boku tego trójkąta
b) długość wysokości trójkąta
c) pole tego trójkąta
Przykład 3
W trójkącie równoramiennym długość podstawy wynosi $latex 12$ cm, a wysokość poprowadzona na tę podstawę jest równa $latex 18$ cm.
Oblicz długości pozostałych wysokości.
Przykład 4
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość $latex 15$ cm i $latex 20$ cm. Oblicz długość wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną.
Przykład 5
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość $latex 18$ cm, a środkowa poprowadzona przeciwprostokątną ma długość $latex 24$ cm.
a) oblicz pole tego trójkąta
b) oblicz długość wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną
Przykład 6
W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów jest równy $latex \frac{3}{7}$. Oblicz pole tego trójkąta, jeśli:
a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy $latex 14$ cm
b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $latex 5$ cm
Pole trójkąta:
$latex P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin\alpha $
Przykład 7
Oblicz pole zaznaczonego trójkąta (zobacz rysunek na filmie).
Przykład 8
Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki mają długość $latex 6$ cm i $latex 12$ cm, a kąt między nimi ma miarę:
a) $latex 30{}^\circ $
b) $latex 60{}^\circ $
c) $latex 135{}^\circ $
d) $latex 150{}^\circ $
Przykład 9
W trójkącie, którego pole jest równe $latex 54 \text{~cm}^2$, dwa boki mają długość $latex 9$ cm i $latex 16$ cm. Oblicz sinus kąta zawartego między tymi bokami.
Przykład 10
W trójkącie rozwartokątnym boki przy kącie rozwartym $latex \alpha $ mają długość $latex 10$ cm i $latex 16$ cm, a pole trójkąta jest równe $latex 40\sqrt{3} \text{~cm}^2$.
Oblicz $latex \alpha $.