'

Interpretacja geometryczna układu równań [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]

Wstęp

Dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć następujące położenie:
1) proste przecinają się w jednym punkcie,
2) proste się pokrywają,
3) proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.

Rozróżniamy trzy układy dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:
1) układ oznaczony
2) układ nieoznaczony
3) układ sprzeczny

Przykład 1

Rozwiąż graficznie układ równań:
a) $latex \left\{ {\begin{matrix}{5x+3y=12} \\ {2x+y=6} \end{matrix}} \right.$
b) $latex \left\{ {\begin{matrix} {x+y=2} \\ {3x+3y=6} \end{matrix}} \right.$
c) $latex \left\{ {\begin{matrix} {2x-y=3} \\ {4x-2y=10} \end{matrix}} \right.$

Przykład 2

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań:
a) $latex \left\{ {\begin{matrix} {2x-y=-6} \\ {y=x+2} \end{matrix}} \right.$
b) $latex \left\{ {\begin{matrix} {3x+2y=9} \\ {x-2y=3} \end{matrix}} \right.$
c) $latex \left\{ {\begin{matrix} {\frac{1}{2}x-2y=5} \\ {x-2=4+2y} \end{matrix}} \right.$
d) $latex \left\{ {\begin{matrix} {3x+2y-3=0} \\ {y+2=\frac{{3\left( {1-\text{x}} \right)+4}}{2}} \end{matrix}} \right.$

Przykład 3

Dopisz brakujące równanie układu tak, aby powstały układ równań:
a) $latex \left\{ {\begin{matrix} {3x+2y=4} \\ \ldots \end{matrix}} \right.$ był sprzeczny
b) $latex \left\{ {\begin{matrix} {x+4y=5} \\ \ldots \end{matrix}} \right.$ był nieoznaczony
c) $latex \left\{ {\begin{matrix} {3x-y=2} \\ \ldots \end{matrix}} \right.$ był oznaczony

Przykład 4

Na rysunku przedstawiono ilustrację graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
a) Wyznacz równania tego układu.
b) Rozwiąż algebraicznie znaleziony układ równań.

Przykład 5

Prosta $latex k$ przechodzi przez punkty $latex A\left( {-2,~2} \right)$ i $latex B\left( {3,~6} \right)$.
Podaj przykładowe równanie prostej $latex m$, które wraz z równaniem prostej $latex k$ utworzy układ:
a) sprzeczny
b) nieoznaczony
c) oznaczony

Przykład 6

Narysuj równoległobok, którego boki są zawarte w podanych prostych. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego równoległoboku.
$latex y=x-4$, $latex ~~~~\text{ }\!\!~\!\!\text{ }y=x+1$,
$latex y=-\frac{1}{4}x+3\frac{1}{2}$, $latex ~~~~y=-\frac{1}{4}x-2\frac{3}{4}$

Przykład 7

Oblicz współrzędne punktów przecięcia prostych: $latex -3x+2y=-1$, $latex x-4y+23=0$, $latex x+y-2=0$, a następnie oblicz pole trójkąta wyznaczonego przez te punkty.