'

Kombinacje

Wprowadzenie

Wprowadzenie do kombinacji

Przykład 1

Na ile sposobów można wybrać dwuosobową delegację z grupy składającej się z $latex 3$ harcerzy i $latex 2$ harcerek?

Definicja 1

Kombinacją $latex k$-elementową bez powtórzeń $latex n$-elementowego zbioru $latex A$ nazywamy każdy $latex k$-elementowy podzbiór zbioru $latex A$, przy czym elementy zbioru $latex A$ nie mogą się powtarzać oraz $latex k,~n\in \mathbb{N}~i~k\le n$.

Definicja 2

Liczbę $latex k$-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru $latex n$-elementowego oznaczamy symbolem $latex \left( {\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}} \right)$, gdzie
$latex k,~n\in \mathbb{N}~i~k\le n$.

Twierdzenie 1

$latex \left( {\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}} \right)=\frac{{n!}}{{\left( {n-k} \right)!k!}}~~~~~~~k,~n\in \mathbb{N}~i~k\le n$

Przykład 2

Oblicz:
a) $latex \left( {\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}} \right)$

b) $latex \left( {\begin{matrix} {10} \\ 2 \end{matrix}} \right)$

c) $latex \left( {\begin{matrix} {10} \\ 3 \end{matrix}} \right)$

d) $latex \left( {\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}} \right)$

e) $latex \left( {\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}} \right)$

f) $latex \left( {\begin{matrix} {10} \\ 8 \end{matrix}} \right)$

Przykład 3

Ile różnych prostych wyznacza:
a) 2 punkty,
b) 5 punktów,
c) 20 punktów,
d) 80 punktów,
jeśli dowolne trzy punkty nie są współliniowe.

Przykład 4

Na zajęciach koła matematycznego spotkało się 10 uczniów. Każdy z uczniów przywitał się z każdym. Ile nastąpiło powitań?

Przykład 5

Z grupy 3 dziewczynek i 4 chłopców wybieramy 3 osoby. Ile mamy możliwości wyboru, aby wśród wybranych osób:
a) były same dziewczynki;
b) byli sami chłopcy;
c) były dwie dziewczynki i jeden chłopiec.

Przykład 6

W klasie jest 12 dziewcząt i 16 chłopców. Spośród uczniów tej klasy wybieramy czteroosobową delegację. Na ile sposobów można to zrobić, tak aby w delegacji znajdowały się:
a) dwie dziewczynki;
b) trzy dziewczynki;
c) co najmniej trzy dziewczynki;
d) co najwyżej dwie dziewczynki.

Przykład 7

W klasie jest 10 chłopców i 20 dziewcząt. Wybieramy cztery osoby. Na ile sposobów możemy wybrać te cztery osoby, tak aby wśród nich:
a) byli sami chłopcy;
b) połowę stanowiły dziewczęta;
c) było trzech chłopców i jedna dziewczynka;
d) był co najmniej jeden chłopiec.

Przykład 8

W urnie jest 6 kul białych, 2 czerwone i 1 niebieska. Ile jest możliwych sposobów wyboru dwóch kul z tej urny, tak by:
a) kule były różnych kolorów;
b) obie kule były białe lub czerwone;
c) przynajmniej 1 kula była biała.

Przykład 9

W urnie jest 6 kul białych, 2 czerwone i 1 niebieska. Ile jest możliwych sposobów wyboru dwóch kul z tej urny, tak by:
a) kule były różnych kolorów;
b) obie kule były białe lub czerwone;
c) przynajmniej 1 kula była biała.