'

Liczby naturalne

Definicja 1

Liczbę [latex]m[/latex] nazywamy dzielnikiem liczby [latex]n[/latex], zaś liczbie [latex]n[/latex] mówimy, że jest wielokrotnością liczby [latex]m[/latex].

Definicja 2

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną [latex]n[/latex] większą od [latex]1[/latex], której jedynymi dzielnikami są [latex]1[/latex] oraz [latex]n[/latex].
Tzn. [latex]2,3,5,7,11,13…[/latex]
Liczbą złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną [latex]n[/latex] większą od [latex]1[/latex], która nie jest liczbą pierwszą.

Cechy podzielności

Liczba naturalna jest podzielna przez:

[latex]2[/latex], gdy jej cyfrą jedności jest [latex]0, 2, 4, 6, 8[/latex]
[latex]3[/latex], gdy suma cyfr tej liczby jest podzielna przez [latex]3[/latex]
[latex]4[/latex], gdy dwie ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę podzielną przez [latex]4[/latex] lub są zerami
[latex]5[/latex], gdy jej cyfrą jedności jest [latex]0[/latex] lub [latex]5[/latex]
[latex]8[/latex], gdy trzy ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę podzielną przez [latex]8[/latex] lub są zerami
[latex]9[/latex], gdy suma cyfr tej liczby jest podzielna przez [latex]9[/latex]

Przykład 1

Liczba [latex]17[/latex] jest dzielnikiem liczby naturalnej [latex]n[/latex]. Sprawdź, czy liczba [latex]17[/latex] jest dzielnikiem liczby:

a) [latex]n+6[/latex]

b) [latex]3n+17[/latex]

c) [latex]n+34[/latex]

Przykład 2

Wyznacz wszystkie naturalne dzielniki liczby:
a) [latex]12[/latex]

b) [latex]48[/latex]

c) [latex]0[/latex]

Przykład 3

Wskaż liczby pierwsze należące do zbioru [latex]{0, 1, 3, 7, 9, 12, 13}[/latex]

Przykład 4

Wyznacz cyfrę [latex]x[/latex] (oznaczającą cyfrę jedności), tak aby liczba [latex]130204x[/latex] była podzielna przez:
a) [latex]4[/latex]

b) [latex]6 [/latex]

c) [latex]10[/latex]

Przykład 5

Czy liczba [latex]233323[/latex] jest podzielna przez [latex]3[/latex]?

Przykład 6

Nie wykonując dzielenia sprawdź, które spośród liczb: [latex]15, 45[/latex] są dzielnikami liczb:
a) [latex]8925[/latex]

b) [latex]2835[/latex]

Dzielenie z resztą

Niech [latex]n,m∈N[/latex] oraz [latex]m≠0[/latex]. W wyniku dzielenia liczby [latex]n[/latex] przez liczbę [latex]m[/latex] otrzymamy resztę [latex]r[/latex] wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna [latex]k[/latex], dla której zachodzi [latex]n=m⋅k+r[/latex], gdzie [latex]k,r∈ N[/latex] i [latex]r<m[/latex].

Przykład 7

Jaką resztę z dzielenia przez [latex]3[/latex] daje liczba:
a) [latex]45[/latex]    

b) [latex]46[/latex]    

c) [latex]47[/latex]

Przykład 8

Podaj postać liczby naturalnej, która przy dzieleniu przez [latex]3[/latex] daje resztę:
a) [latex]0[/latex]

b) [latex]1[/latex]

c) [latex]2[/latex]

Przykład 9

Podaj postać liczby naturalnej, która przy dzieleniu przez [latex]5[/latex] daje resztę:
a) [latex]0[/latex]

b) [latex]1[/latex]

c) [latex]2[/latex]

d) [latex]3[/latex]

e) [latex]4[/latex]

Przykład 10

Zapisz postać liczby naturalnej:

a) która przy dzieleniu przez [latex]4[/latex] daje resztę [latex]1[/latex]
b) która przy dzieleniu przez [latex]5[/latex] daje resztę [latex]4[/latex]
c) która przy dzieleniu przez [latex]7[/latex] daje resztę [latex]2[/latex]
d) która przy dzieleniu przez [latex]8[/latex] daje resztę [latex]4[/latex]

Przykład 11

Podaj trzy kolejne liczby parzyste, z których pierwszą jest [latex]2n[/latex].

Przykład 12

Podaj trzy kolejne liczby nieparzyste z których pierwszą jest [latex]2n+1[/latex].

Przykład 13

Podaj trzy kolejne liczby naturalne, z których najmniejszą jest [latex]n[/latex].

Przykład 14

Udowodnij, że suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta.

Przykład 15

Udowodnij, że suma trzech kolejnych liczb podzielnych przez [latex]3[/latex] jest podzielna przez [latex]9[/latex].