'

Logarytmy

Definicja 1

Logarytmem dziesiętnym liczby dodatniej $latex b$ przy podstawie $latex 10$ nazywamy liczbę $latex c$, która spełnia równanie $latex {{10}^{c}}=b.$
Piszemy wówczas $latex \log b=c$.

Przykład 1

Oblicz:
a) $latex \log 1=0~$
b) $latex \log 10=1$
c) $latex \log 100=2$
d) $latex \log 1000$
e) $latex \log 0,1~$
f) $latex \log 0,01~$
g) $latex \log \sqrt{{10}}~$
h) $latex \log \sqrt[5]{{10}}~$

Definicja 2

Logarytmem liczby dodatniej $latex b$ przy podstawie $latex a$ (dodatniej i różnej od 1) nazywamy liczbę $latex c$, która spełnia równanie $latex {{a}^{c}}=b.$
Piszemy wówczas $latex {{\log }_{a}}b=c$.

Przykład 2

Oblicz:
a) $latex {{\log }_{2}}1~$
b) $latex {{\log }_{2}}4$
c) $latex {{\log }_{2}}8$
d) $latex {{\log }_{2}}\frac{1}{2}$
e)$latex \text{ }\!\!~\!\!\text{ lo}{{\text{g}}_{2}}\frac{1}{{16}}$
f) $latex {{\log }_{2}}\sqrt{2}$
g) $latex {{\log }_{2}}\sqrt[3]{2}$

h) $latex {{\log }_{2}}1024$
i) $latex {{\log }_{2}}\frac{1}{{64}}$
j) $latex {{\log }_{{16}}}2$
k) $latex {{\log }_{6}}\sqrt{6}$
l) $latex {{\log }_{{\sqrt{3}}}}3\sqrt{3}$
m) $latex {{\log }_{2}}\frac{1}{{\sqrt{2}}}$
n) $latex {{\log }_{{\sqrt{5}}}}\sqrt{{{{5}^{3}}}}$

Przykład 3

Oblicz:
a) $latex {{\log }_{3}}81~$
b) $latex {{\log }_{{\frac{1}{2}}}}32$
c) $latex {{\log }_{{\frac{2}{3}}}}\frac{{16}}{{81}}$
d) $latex {{\log }_{{\frac{2}{3}}}}\frac{{81}}{{16}}$
e)$latex \text{ }\!\!~\!\!\text{ lo}{{\text{g}}_{2}}\frac{1}{{1024}}$

f) $latex {{\log }_{{\frac{1}{6}}}}216$
g) $latex {{\log }_{{0,1}}}0,01$
h) $latex {{\log }_{{0,64}}}0,8$
i) $latex {{\log }_{{0,125}}}0,5$
j) $latex {{\log }_{{0,2}}}625$
k) $latex {{\log }_{4}}0,0625$

Przykład 4

Oblicz:
a) $latex {{\log }_{{\sqrt{5}}}}5~$
b) $latex {{\log }_{{\sqrt{5}}}}\sqrt{5}$
c) $latex {{\log }_{{\sqrt{5}}}}5\sqrt[3]{5}$
d) $latex {{\log }_{{\sqrt{3}}}}\sqrt[3]{9}$
e) $latex {{\log }_{{\frac{1}{3}}}}25\sqrt{5}$
f) $latex {{\log }_{4}}8\sqrt[4]{2}$

Przykład 5

Oblicz $latex x$:
a) $latex {{\log }_{5}}x=-1~$
b) $latex {{\log }_{{\frac{1}{2}}}}x=-2~$
c) $latex {{\log }_{2}}x=-\frac{2}{3}$
d) $latex {{\log }_{{2\sqrt{2}}}}x=-3$
e) $latex {{\log }_{x}}25=2$
f) $latex {{\log }_{x}}3=\frac{1}{2}$
g) $latex {{\log }_{x}}27=3$
h) $latex {{\log }_{x}}36=-2$

Twierdzenie 1

a) $latex {{\log }_{a}}1=0~$
b) $latex {{\log }_{a}}a=1~$
c) $latex {{\log }_{a}}{{a}^{r}}=r~$

Twierdzenie 2

a) $latex {{\log }_{a}}\left( {x\cdot y} \right)=\text{lo}{{\text{g}}_{a}}x+\text{lo}{{\text{g}}_{a}}y$
b) $latex {{\log }_{a}}\frac{x}{y}=\text{lo}{{\text{g}}_{a}}x-\text{lo}{{\text{g}}_{a}}y$
c) $latex {{\log }_{a}}{{x}^{r}}=r\cdot $ $latex \text{lo}{{\text{g}}_{a}}x$
d*) $latex {{\log }_{b}}c=\frac{{\text{lo}{{\text{g}}_{a}}c}}{{\text{lo}{{\text{g}}_{a}}b}}$

Przykład 6

Oblicz korzystając z własności logarytmów:
a) $latex \text{lo}{{\text{g}}_{7}}14-\text{lo}{{\text{g}}_{7}}2$
b) $latex \text{lo}{{\text{g}}_{6}}12-\text{lo}{{\text{g}}_{6}}3$
c) $latex {{\log }_{3}}3\sqrt{3}$
d) $latex \text{lo}{{\text{g}}_{8}}32+\text{lo}{{\text{g}}_{8}}2$
e)$latex \text{ }\!\!~\!\!\text{ lo}{{\text{g}}_{3}}54~-\text{lo}{{\text{g}}_{3}}2\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
f) $latex {{\log }_{5}}{{5}^{{\sqrt{5}}}}$
g) $latex \text{lo}{{\text{g}}_{2}}{{8}^{{\sqrt{5}}}}$
h) $latex \text{lo}{{\text{g}}_{2}}{{16}^{7}}$

i) $latex \log 25+\log 4$
j)$latex \text{ }\!\!~\!\!\text{ }3\cdot \log 2+\log 125$
k)$latex \text{ }\!\!~\!\!\text{ log}125+\log 2+\log \frac{2}{5}$
l)$latex \text{ }\!\!~\!\!\text{ log}2+\log 50$
m) $latex \text{lo}{{\text{g}}_{7}}98-\text{lo}{{\text{g}}_{7}}2$
n) $latex {{5}^{{\text{lo}{{\text{g}}_{5}}7}}}$
o) $latex {{7}^{{2\cdot \text{lo}{{\text{g}}_{7}}5}}}$
p) $latex \frac{{\log \sqrt{5}}}{{\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3\cdot \log 5-\log 25}}$

Przykład 7

Oblicz wartość wyrażenia:
$latex \frac{{\log \sqrt{{128}}+\log {{{32}}^{{\frac{1}{3}}}}}}{{\log \left( {2\sqrt{2}} \right)}}$

Przykład 8

Dla jakich $latex x$ wyrażenie ma sens:
a) $latex \text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( {x-3} \right)$
b) $latex \text{lo}{{\text{g}}_{3}}\left( {2x-4} \right)$
c) $latex {{\log }_{{\left( {x+3} \right)}}}2$
d) $latex \text{lo}{{\text{g}}_{{\left( {3x-12} \right)}}}7$