Matura próbna CKE 2020 – odpowiedzi i rozwiązania
Zadanie 1
Niech $latex a=-2,~b=3$. Wartość wyrażenia $latex {{a}^{b}}-{{b}^{a}}$ jest równa
A. $latex \frac{{73}}{9}$
B. $latex \frac{{71}}{9}$
C. $latex -\frac{{73}}{9}$
D. $latex -\frac{{71}}{9}$
Zadanie 2
Liczba $latex {{9}^{9}}\cdot {{81}^{2}}$ jest równa
A. $latex {{81}^{4}}$
B. $latex 81~$
C. $latex {{9}^{{13}}}$
D. $latex {{9}^{{36}}}$
Zadanie 3
Wartość wyrażenia $latex {{\log }_{4}}8+5{{\log }_{4}}2$ jest równa
A. $latex 2$
B. $latex 4$
C. $latex 2+{{\log }_{4}}5$
D. $latex 1+{{\log }_{4}}10$
Zadanie 4
Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o $latex 30\%$. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła
A. o mniej niż $latex 50\%$, ale więcej niż $latex 40\%$
B. o mniej niż $latex 60\%$, ale więcej niż $latex 50\%$
C. dokładnie o $latex 60\%$
D. o więcej niż $latex 60\%$
Zadanie 5
Liczba $latex {{\left( {2\sqrt{7}-5} \right)}^{2}}\cdot {{\left( {2\sqrt{7}+5} \right)}^{2}}$ jest równa
A. $latex 9$
B. $latex 3$
C. $latex 2809$
D. $latex 28-20\sqrt{7}$
Zadanie 6
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb $latex x$ spełniających warunek $latex 11\le 2x-7\le 15$
Zadanie 7
Rozważmy treść następującego zadania:
Obwód prostokąta o bokach długości $latex a$ i $latex b$ jest równy $latex 60$. Jeden z boków tego prostokąta jest o $latex 10$ dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta. Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?
A. $latex \left\{ {\begin{matrix} {2\left( {a+b} \right)=60} \\ {a+10=b} \end{matrix}} \right.$
B. $latex \left\{ {\begin{matrix} {2a+b=60} \\ {10b=a} \end{matrix}} \right.$
C. $latex \left\{ {\begin{matrix} {2ab=60} \\ {a-b=10} \end{matrix}} \right.$
D. $latex \left\{ {\begin{matrix} {2\left( {a+b} \right)=60} \\ {10a=b} \end{matrix}} \right.$
Zadanie 8
Rozwiązaniem równania $latex \frac{{x+1}}{{X+2}}=3,$ gdzie $latex x\ne -2$, jest liczba należąca do przedziału
A. $latex \left( {-2,~1} \right)$
B. $latex \left \langle {1,+\infty} \right) $
C. $latex \left( {-\infty ,~-5} \right)$
D. $latex \left \langle {-5,~-2} \right) $
Zadanie 9
Linę o długości $latex 100$ metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku $latex 3:4:5$. Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość
A. $latex 41\frac{2}{3}$ metra
B. $latex 33\frac{1}{3}$ metra
C. $latex 60$ metrów
D. $latex 25$ metrów
Zadanie 10
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $latex f$ określonej wzorem $latex f\left( x \right)={{x}^{2}}+bx+c$. Współczynniki $latex b$ i $latex c$ – we wzorze funkcji $latex f$ – spełniają warunki:
A. $latex b<0$ i $latex c>0$
B. $latex b<0$ i $latex c<0$
C. $latex b>0$ i $latex c>0$
D. $latex b>0$ i $latex c<0$
Zadanie 11
Dany jest ciąg arytmetyczny $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, określony dla $latex n\ge 1$, w którym są dane: $latex {{a}_{1}}=2$ i $latex {{a}_{2}}=9$. Wtedy $latex {{a}_{n}}=79$ dla
A. $latex n=10$
B. $latex n=11$
C. $latex n=12$
D. $latex n=13$
Zadanie 12
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich $latex \left( {81,~3x,~4} \right)$. Stąd wynika, że
A. $latex x=18$
B. $latex x=6$
C. $latex x=\frac{{85}}{6}$
D. $latex x=\frac{6}{{85}}$
Zadanie 13
Kąt $latex \alpha $ jest ostry i spełniona jest równość $latex \sin \alpha =\frac{{2\sqrt{6}}}{7}$. Stąd wynika, że
A. $latex \cos \alpha =\frac{{24}}{{49}}$
B. $latex \cos \alpha =\frac{5}{7}$
C. $latex \cos \alpha =\frac{{25}}{{49}}$
D. $latex \cos \alpha =\frac{{5\sqrt{6}}}{7}$
Zadanie 14
Na okręgu o środku w punkcie $latex O$ leżą punkty $latex A,~B$ i $latex C$ (zobacz rysunek). Kąt $latex ABC$ ma miarę $latex 121{}^\circ $, a kąt $latex BOC$ ma miarę $latex 40{}^\circ $.
Kąt $latex AOB$ ma miarę
A. $latex 59{}^\circ $
B. $latex 50{}^\circ $
C. $latex 81{}^\circ $
D. $latex 78{}^\circ $
Zadanie 15
W trójkącie $latex ABC$ punkt $latex D$ leży na boku $latex BC$, a punkt $latex E$ leży na boku $latex AC$. Odcinek $latex DE$ jest równoległy do boku $latex AB$, a ponadto $latex \left| {AE} \right|=\left| {DE} \right|=4$, $latex \left| {AB} \right|=6$ (zobacz rysunek).
Odcinek $latex CE$ ma długość
A. $latex \frac{{16}}{3}$
B. $latex \frac{8}{3}$
C. $latex 8$
D. $latex 6$
Zadanie 16
Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole powierzchni jest równe $latex 6\sqrt{3}$. Bok tego trójkąta ma długość
A. $latex 3\sqrt{2}$
B. $latex 2\sqrt{3}$
C. $latex 2\sqrt{6}$
D. $latex 6\sqrt{2}$
Zadanie 17
Punkty $latex B=\left( {-2,~4} \right)$ i $latex C=\left( {5,~1} \right)$ są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu $latex ABCD$. Pole tego kwadratu jest równe
A. $latex 29$
B. $latex 40$
C. $latex 58$
D. $latex 74$
Zadanie 18
Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny $latex ABCDS$ o podstawie $latex ABCD$.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej $latex SA$ ostrosłupa do płaszczyzny podstawy $latex ABCD$ to
A. $latex \sphericalangle SAO$
B. $latex \sphericalangle SAB$
C. $latex \sphericalangle SOA$
D. $latex \sphericalangle ASB$
Zadanie 19
Graniastosłup ma $latex 14$ wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa
A. $latex 14$
B. $latex 21$
C. $latex 28$
D. $latex 26$
Zadanie 20
Prosta $latex k$ przechodzi przez punkt $latex A=\left( {4,~-4} \right)$ oraz jest prostopadła do osi $latex Ox$. Prosta $latex k$ ma równanie
A. $latex x-4=0$
B. $latex x-y=0$
C. $latex y+4=0$
D. $latex x+y=0$
Zadanie 21
Prosta $latex l$ jest nachylona do osi $latex Ox$ pod kątem $latex 30{}^\circ $ i przecina oś $latex Oy$ w punkcie $latex \left( {0,~-\sqrt{3}} \right)$ (zobacz rysunek)
Prosta $latex l$ ma równanie
A. $latex y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\sqrt{3}$
B. $latex y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\sqrt{3}$
C. $latex y=\frac{1}{2}x-\sqrt{3}$
D. $latex y=\frac{1}{2}x+\sqrt{3}$
Zadanie 22
Dany jest stożek o wysokości $latex 6$ i tworzącej $latex 3\sqrt{5}$. Objętość tego stożka jest równa
A. $latex 36\pi $
B. $latex 18\pi $
C. $latex 108\pi $
D. $latex 54\pi $
Zadanie 23
Średnia arytmetyczna zestawu ośmiu danych: $latex x,~2,~4,~6,~8,~10,~12,~14$ jest równa $latex 9$. Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa
A. $latex 8$
B. $latex 9$
C. $latex 10$
D. $latex 16$
Zadanie 24
Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż $latex 2017$?
A. $latex 2016$
B. $latex 2017$
C. $latex 1016$
D. $latex 1017$
Zadanie 25
Z pudełka, w którym jest tylko $latex 6$ kul białych i $latex n$ kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe $latex \frac{1}{3}$. Liczba kul czarnych jest równa
A. $latex n=9$
B. $latex n=2$
C. $latex n=18$
D. $latex n=12$
Zadanie 26
Rozwiąż nierówność $latex 2{{x}^{2}}+x-6\le 0$.
Zadanie 27
Rozwiąż równanie $latex \left( {{{x}^{2}}-6} \right)\left( {3x+2} \right)=0$.
Zadanie 28
Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $latex x$ prawdziwa jest nierówność $latex 4x+\frac{1}{x}\ge 4$
Zadanie 29
Dany jest trójkąt prostokątny $latex ABC$, w którym $latex \left| {\sphericalangle ACB} \right|=90{}^\circ $ i $latex \left| {\sphericalangle ABC} \right|=60{}^\circ $. Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta prostego oraz przeciwprostokątnej $latex AB$ tego trójkąta. Wykaż, że $latex \left| {AD} \right|:\left| {DB} \right|=3:1$.
Zadanie 30
Ze zbioru liczb $latex \left\{ {1,~2,~4,~5,~10} \right\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $latex A$ polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.
Zadanie 31
Dany jest ciąg arytmetyczny $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, określony dla $latex n\ge 1,$ w którym spełniona jest równość $latex {{a}_{{21}}}+{{a}_{{24}}}+{{a}_{{27}}}+{{a}_{{30}}}=100.$Oblicz sumę $latex {{a}_{{25}}}+{{a}_{{26}}}$.
Zadanie 32
Funkcja kwadratowa $latex f$ określona wzorem $latex f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ ma dwa miejsca zerowe: $latex {{x}_{1}}=-2$ i $latex {{x}_{2}}=6$. Wykres funkcji $latex f$ przechodzi przez punkt $latex A=\left( {1,~-5} \right)$. Oblicz najmniejszą wartość funkcji $latex f$.
Zadanie 33
Punkt $latex C=\left( {0,~0} \right)$ jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego $latex ABC$, którego wierzchołek $latex A$ leży na osi $latex Ox$, a wierzchołek $latex B$ na osi $latex Oy$ układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka $latex C$ przecina przeciwprostokątną $latex AB$ w punkcie $latex D=\left( {3,~4} \right)$. Oblicz współrzędne wierzchołków $latex A$ i $latex B$ tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej $latex AB$.
Zadanie 34
Podstawą graniastosłupa prostego $latex ABCDEF$ jest trójkąt prostokątny $latex ABC$, w którym $latex \left| {\sphericalangle ACB} \right|=90{}^\circ $ (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej $latex AC$ tego trójkąta do długości przyprostokątnej $latex BC$ jest równy $latex 4~:3$. Punkt $latex S$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $latex ABC$, a długość odcinka $latex SC$ jest równa $latex 5$. Pole ściany bocznej $latex BEFC$ graniastosłupa jest równe $latex 48.$ Oblicz objętość tego graniastosłupa.