'

Miejsce zerowe funkcji

Przykład 1

Na podstawie wykresu funkcji $latex f$ podaj jej miejsca zerowe

Przykład 2

Sprawdź, które z podanych liczb są miejscami zerowymi funkcji
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {2\text{x}-1} \right)}}{{{{\text{x}}^{2}}-3}}$, $latex ~~~~-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,\frac{1}{2},\sqrt{2}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\sqrt{{5\text{x}-1}}$, $latex ~~~~\frac{1}{2},\frac{1}{5},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left( {\text{x}-2} \right)\left( {\text{x}-1} \right)\left( {\text{x}+4} \right)$, $latex ~~~~-4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2$

Przykład 3

Wyznacz liczbę $latex k$ tak, aby miejscem zerowym funkcji była podana obok liczba.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\text{x}}^{3}}-\text{kx}$, $latex ~~~~-2$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{3\text{kx}-1}}{{{{\text{x}}^{2}}+1}}$, $latex ~~~~-1$

Przykład 4

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\text{x}\left( {\text{x}+3} \right)$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=5\left( {\text{x}+3} \right)\left( {\text{x}-4} \right){{\text{x}}^{3}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left( {\text{x}+2} \right)\left( {\text{x}-7} \right)\left( {{{\text{x}}^{2}}+10} \right)$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-6\text{x}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-5\text{x}-10{{\text{x}}^{2}}$

Przykład 5

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=4{{\text{x}}^{2}}-1$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=100{{\text{x}}^{2}}-25$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{{16}}{{\text{x}}^{2}}-1$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=7-{{\text{x}}^{2}}$

Przykład 6

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=4{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+1$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-20\text{x}+100$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=4-12\text{x}+9{{\text{x}}^{2}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}+4\sqrt{3}\text{x}+12}}{{{{{\left( {\text{x}+2\sqrt{3}} \right)}}^{2}}}}$

Przykład 7

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2\text{x}-1$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-\frac{3}{2}{{\text{x}}^{2}}+6$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4\text{x}-1}}{{{{\text{x}}^{2}}+5}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {2\text{x}+5} \right)\left( {\text{x}-3} \right)}}{{{{\text{x}}^{2}}+16}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}+5}}{{{{\text{x}}^{2}}+7}}$
f) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{6\text{x}-15{{\text{x}}^{2}}}}{{{{\text{x}}^{2}}+1}}$

Przykład 8

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{5\text{x}-15}}{{\text{x}+2}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {\text{x}-2} \right)\left( {\text{x}+2} \right)}}{{3\text{x}-2}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4{{\text{x}}^{2}}-25}}{{\text{x}+\frac{5}{2}}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}\left( {{{\text{x}}^{2}}-9} \right)}}{{\text{x}-3}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{1-9{{\text{x}}^{2}}}}{{\left( {3-\text{x}} \right)\left( {3+\text{x}} \right)}}$
f) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{25-{{\text{x}}^{2}}}}{{\left( {\text{x}+2} \right)\left( {\text{x}-5} \right)}}$

Przykład 9

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left\{\begin{matrix} x-1,~\text{jeśli}~x\in \langle -5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2)\\ -x+3,~\text{jeśli}~x\in \langle 2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5) \end{matrix}\right.$

b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left\{\begin{matrix} \frac{2}{x},~\text{jeśli}~x\in \langle -1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2\rangle \\ \sqrt{\text{x}}-4,~\text{jeśli}~x\in (2,9\rangle \end{matrix}\right.$

c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left\{\begin{matrix} x^{2}-4,~\text{jeśli}~x\in \langle -2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2) \\ 6x-24,~\text{jeśli}~x\in \langle 2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4) \end{matrix}\right.$

Przykład 10

Podaj przykład wzoru funkcji, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych i która
a) nie ma miejsc zerowych
b) ma jedno miejsce zerowe
c) ma dwa miejsca zerowe
d) ma trzy miejsca zerowe
e) ma cztery miejsca zerowe

Przykład 11

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}-1}}{{\left| {\text{x}+2} \right|-3}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}\left( {\text{x}+2} \right)\left( {\text{x}+1} \right)}}{{\left| {\text{x}+2} \right|-1}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {{{\text{x}}^{2}}-25} \right)\left( {\text{x}+1} \right)}}{{\left| {\text{x}-3} \right|-2}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {\text{x}+2} \right)\left( {\text{x}+3} \right)\left( {\text{x}-4} \right)}}{{\left| {\text{x}-3} \right|+5}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{2{{\text{x}}^{2}}+\text{x}}}{{\left| {\text{x}+\frac{1}{2}} \right|}}$
f) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}-3}}{{\left| {\text{x}+3} \right|}}$

Przykład 12

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left( {{{\text{x}}^{2}}-4} \right)\sqrt{{\text{x}-3}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left( {{{\text{x}}^{2}}+10\text{x}+25} \right)\sqrt{{6-\text{x}}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left( {\text{x}+3} \right)\left( {\text{x}-6} \right)\sqrt{{\frac{1}{2}\text{x}+2}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {\text{x}-5} \right)\left( {\text{x}+2} \right)}}{{\sqrt{{2-\text{x}}}}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{2\text{x}-6}}{{\sqrt{{3\text{x}-12}}}}$

Przykład 13

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{-{{\text{x}}^{2}}+9}}{{\sqrt{{\left| {\text{x}-1} \right|-2}}}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {3\text{x}-6} \right)\left( {\text{x}+1} \right)}}{{\sqrt{{1-\left| {\text{x}+2} \right|}}}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{2\text{x}\left( {\text{x}+5} \right)}}{{\sqrt{{\left| \text{x} \right|-2}}}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4{{\text{x}}^{2}}}}{{\sqrt{{3-\left| \text{x} \right|}}}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}+18\text{x}}}{{\left| {{{\text{x}}^{2}}-25} \right|}}$

Przykład 14

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{-4{{\text{x}}^{4}}+9{{\text{x}}^{2}}}}{{\sqrt{{\text{x}+3}}}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{3}}+4{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}}}{{\sqrt{{\text{x}+1}}}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}-2\text{x}-3}}{{\left| {\text{x}-3} \right|-6}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left| {\text{x}+2} \right|-1}}{{{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}+5}}$

Przykład 15

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{3}}+8$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4\text{x}-16}}{{{{\text{x}}^{3}}-64}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}+3\text{x}-1}}{{\left( {3\text{x}-1} \right)\left( {2\text{x}-4} \right)}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{3{{\text{x}}^{3}}+16}}{{\sqrt{{\text{x}+5}}}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{6}}+2{{\text{x}}^{5}}+{{\text{x}}^{4}}}}{{{{\text{x}}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}+3\text{x}+1}}$
f) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{3}}-125}}{{\sqrt{{\left| {\text{x}-1} \right|-4}}}}$

Przykład 16

Podaj przykład funkcji, której dziedziną jest zbiór $latex D=\mathbb{R}-\left\{ {-2,~5} \right\}$, a jej jedynym miejscem zerowym jest liczba $latex 3$.

Przykład 17

Podaj przykład funkcji, której dziedziną jest zbiór $latex D=\mathbb{R}-\left\{ 3 \right\}$ i która nie ma miejsc zerowych.

Przykład 18

Podaj przykład funkcji, której dziedziną jest zbiór $latex D=\mathbb{R}-\left\{ {-1,~0,~5} \right\}$ i która ma trzy miejsca zerowe $latex -2,~3,~6$.

Przykład 19

Podaj przykład funkcji, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych i która ma cztery miejsca zerowe $latex -2,~0,~2,~7$.

Przykład 20

Podaj przykład funkcji, której dziedziną jest przedział $latex \langle 2,~+\infty )$ i która ma tylko jedno miejsce zerowe.

Przykład 21

Podaj przykład funkcji, której dziedziną jest przedział $latex (-\infty ,~5 \rangle$ i która ma cztery miejsca zerowe $latex -2,~0,~1,~3$.