Miejsca zerowe funkcji [ROZSZERZENIE]
Przykład 1
Na podstawie wykresu funkcji $latex f$ podaj jej miejsca zerowe
Przykład 2
Sprawdź, które z podanych liczb są miejscami zerowymi funkcji
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {2\text{x}-1} \right)}}{{{{\text{x}}^{2}}-3}}$, $latex ~~~~-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,\frac{1}{2},\sqrt{2}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\sqrt{{5\text{x}-1}}$, $latex ~~~~\frac{1}{2},\frac{1}{5},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left( {\text{x}-2} \right)\left( {\text{x}-1} \right)\left( {\text{x}+4} \right)$, $latex ~~~~-4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2$
Przykład 3
Wyznacz liczbę $latex k$ tak, aby miejscem zerowym funkcji była podana obok liczba.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\text{x}}^{3}}-\text{kx}$, $latex ~~~~-2$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{3\text{kx}-1}}{{{{\text{x}}^{2}}+1}}$, $latex ~~~~-1$
Przykład 4
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\text{x}\left( {\text{x}+3} \right)$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=5\left( {\text{x}+3} \right)\left( {\text{x}-4} \right){{\text{x}}^{3}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left( {\text{x}+2} \right)\left( {\text{x}-7} \right)\left( {{{\text{x}}^{2}}+10} \right)$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-6\text{x}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-5\text{x}-10{{\text{x}}^{2}}$
Przykład 5
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=4{{\text{x}}^{2}}-1$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=100{{\text{x}}^{2}}-25$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{{16}}{{\text{x}}^{2}}-1$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=7-{{\text{x}}^{2}}$
Przykład 6
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=4{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+1$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-20\text{x}+100$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=4-12\text{x}+9{{\text{x}}^{2}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}+4\sqrt{3}\text{x}+12}}{{{{{\left( {\text{x}+2\sqrt{3}} \right)}}^{2}}}}$
Przykład 7
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2\text{x}-1$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-\frac{3}{2}{{\text{x}}^{2}}+6$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4\text{x}-1}}{{{{\text{x}}^{2}}+5}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {2\text{x}+5} \right)\left( {\text{x}-3} \right)}}{{{{\text{x}}^{2}}+16}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}+5}}{{{{\text{x}}^{2}}+7}}$
f) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{6\text{x}-15{{\text{x}}^{2}}}}{{{{\text{x}}^{2}}+1}}$
Przykład 8
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{5\text{x}-15}}{{\text{x}+2}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {\text{x}-2} \right)\left( {\text{x}+2} \right)}}{{3\text{x}-2}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4{{\text{x}}^{2}}-25}}{{\text{x}+\frac{5}{2}}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}\left( {{{\text{x}}^{2}}-9} \right)}}{{\text{x}-3}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{1-9{{\text{x}}^{2}}}}{{\left( {3-\text{x}} \right)\left( {3+\text{x}} \right)}}$
f) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{25-{{\text{x}}^{2}}}}{{\left( {\text{x}+2} \right)\left( {\text{x}-5} \right)}}$
Przykład 9
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left\{\begin{matrix} x-1,~\text{jeśli}~x\in \langle -5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2)\\ -x+3,~\text{jeśli}~x\in \langle 2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5) \end{matrix}\right.$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left\{\begin{matrix} \frac{2}{x},~\text{jeśli}~x\in \langle -1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2\rangle \\ \sqrt{\text{x}}-4,~\text{jeśli}~x\in (2,9\rangle \end{matrix}\right.$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left\{\begin{matrix} x^{2}-4,~\text{jeśli}~x\in \langle -2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2) \\ 6x-24,~\text{jeśli}~x\in \langle 2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4) \end{matrix}\right.$
Przykład 10
Podaj przykład wzoru funkcji, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych i która
a) nie ma miejsc zerowych
b) ma jedno miejsce zerowe
c) ma dwa miejsca zerowe
d) ma trzy miejsca zerowe
e) ma cztery miejsca zerowe
Przykład 11
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}-1}}{{\left| {\text{x}+2} \right|-3}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}\left( {\text{x}+2} \right)\left( {\text{x}+1} \right)}}{{\left| {\text{x}+2} \right|-1}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {{{\text{x}}^{2}}-25} \right)\left( {\text{x}+1} \right)}}{{\left| {\text{x}-3} \right|-2}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {\text{x}+2} \right)\left( {\text{x}+3} \right)\left( {\text{x}-4} \right)}}{{\left| {\text{x}-3} \right|+5}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{2{{\text{x}}^{2}}+\text{x}}}{{\left| {\text{x}+\frac{1}{2}} \right|}}$
f) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\text{x}-3}}{{\left| {\text{x}+3} \right|}}$
Przykład 12
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left( {{{\text{x}}^{2}}-4} \right)\sqrt{{\text{x}-3}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left( {{{\text{x}}^{2}}+10\text{x}+25} \right)\sqrt{{6-\text{x}}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left( {\text{x}+3} \right)\left( {\text{x}-6} \right)\sqrt{{\frac{1}{2}\text{x}+2}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {\text{x}-5} \right)\left( {\text{x}+2} \right)}}{{\sqrt{{2-\text{x}}}}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{2\text{x}-6}}{{\sqrt{{3\text{x}-12}}}}$
Przykład 13
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{-{{\text{x}}^{2}}+9}}{{\sqrt{{\left| {\text{x}-1} \right|-2}}}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left( {3\text{x}-6} \right)\left( {\text{x}+1} \right)}}{{\sqrt{{1-\left| {\text{x}+2} \right|}}}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{2\text{x}\left( {\text{x}+5} \right)}}{{\sqrt{{\left| \text{x} \right|-2}}}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4{{\text{x}}^{2}}}}{{\sqrt{{3-\left| \text{x} \right|}}}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}+18\text{x}}}{{\left| {{{\text{x}}^{2}}-25} \right|}}$
Przykład 14
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{-4{{\text{x}}^{4}}+9{{\text{x}}^{2}}}}{{\sqrt{{\text{x}+3}}}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{3}}+4{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}}}{{\sqrt{{\text{x}+1}}}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}-2\text{x}-3}}{{\left| {\text{x}-3} \right|-6}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left| {\text{x}+2} \right|-1}}{{{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}+5}}$
Przykład 15
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $latex f$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{3}}+8$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{4\text{x}-16}}{{{{\text{x}}^{3}}-64}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}+3\text{x}-1}}{{\left( {3\text{x}-1} \right)\left( {2\text{x}-4} \right)}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{3{{\text{x}}^{3}}+16}}{{\sqrt{{\text{x}+5}}}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{6}}+2{{\text{x}}^{5}}+{{\text{x}}^{4}}}}{{{{\text{x}}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}+3\text{x}+1}}$
f) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{3}}-125}}{{\sqrt{{\left| {\text{x}-1} \right|-4}}}}$
Przykład 16
Podaj przykład funkcji, której dziedziną jest zbiór $latex D=\mathbb{R}-\left\{ {-2,~5} \right\}$, a jej jedynym miejscem zerowym jest liczba $latex 3$.
Przykład 17
Podaj przykład funkcji, której dziedziną jest zbiór $latex D=\mathbb{R}-\left\{ 3 \right\}$ i która nie ma miejsc zerowych.
Przykład 18
Podaj przykład funkcji, której dziedziną jest zbiór $latex D=\mathbb{R}-\left\{ {-1,~0,~5} \right\}$ i która ma trzy miejsca zerowe $latex -2,~3,~6$.
Przykład 19
Podaj przykład funkcji, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych i która ma cztery miejsca zerowe $latex -2,~0,~2,~7$.
Przykład 20
Podaj przykład funkcji, której dziedziną jest przedział $latex \langle 2,~+\infty )$ i która ma tylko jedno miejsce zerowe.
Przykład 21
Podaj przykład funkcji, której dziedziną jest przedział $latex (-\infty ,~5 \rangle$ i która ma cztery miejsca zerowe $latex -2,~0,~1,~3$.