'

Mnożenie sum algebraicznych [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]

Wprowadzenie

Aby pomnożyć dwie sumy algebraiczne, należy każdy wyraz jednej sumy pomnożyć przez każdy wyraz drugiej sumy, tzn.

$latex \left( {a+b} \right)\cdot \left( {c+d} \right)=ac+ad+bc+bd$

Przykład 1

Wykonaj mnożenie, a następnie zredukuj wyrazy podobne:
a) $latex \left( {x+1} \right)\left( {x+6} \right)$
b) $latex \left( {x+2y} \right)\left( {x-3y} \right)$
c) $latex \left( {2x+y} \right)\left( {3x-5y} \right)$
d) $latex \left( {4x-\frac{1}{2}y} \right)\left( {2x-y} \right)$

Przykład 2

Wykonaj mnożenie, a następnie zredukuj wyrazy podobne:
a) $latex \left( {x-2} \right)\left( {{{x}^{2}}+3x-5} \right)$
b) $latex \left( {x+1} \right)\left( {2{{x}^{2}}-3x+4} \right)$.
c) $latex \left( {{{x}^{2}}-x+2} \right)\left( {{{x}^{2}}+x+2} \right)$

Przykład 3

Oblicz objętość prostopadłościanu, którego krawędzie mają podane długości. Zapisz otrzymane wyrażenie w jak najprostszej postaci.
a) $latex x+1,~x+2,~{{x}^{2}}+1$
b) $latex x-3,~{{x}^{2}}+2,{{x}^{2}}-2$

Przykład 4

Oblicz:
a) $latex \left( {\sqrt{3}+5} \right)\left( {\sqrt{3}-1} \right)$
b) $latex \left( {\sqrt{2}-3} \right)\left( {\sqrt{2}-4} \right)$
c) $latex \left( {2\sqrt{2}+1} \right)\left( {3\sqrt{2}-2} \right)$
d) $latex \left( {\sqrt{2}+\sqrt{3}} \right)\left( {2\sqrt{3}-\sqrt{2}} \right)$
e) $latex \left( {\sqrt{5}+\sqrt{7}} \right)\left( {\sqrt{5}+\sqrt{7}-1} \right)$

Przykład 5

Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci:
a) $latex 4x-\left( {4x+y} \right)\left( {1-2y} \right)$
b) $latex \left( {3x+2y+1} \right)\left( {2x-y} \right)$
c) $latex \left( {x-y} \right)\left( {2x+3y} \right)+ \left( {x+2y} \right)\left( {-x+5y} \right)$
d) $latex \left( {3x+y} \right)\left( {x-5y} \right)- x\left( {x+4y-1} \right)-2x\left( {x-9y} \right)$

Przykład 6

Dany jest prostokąt o bokach długości $latex a$, $latex a+4$.
a) Przedstaw wzór na pole prostokąta w postaci sumy algebraicznej.
b) Krótszy bok tego prostokąta przedłużono o $latex 2$, a dłuższy skrócono o $latex 2$, w wyniku czego powstał kwadrat. Wyznacz różnicę między polem kwadratu, a polem prostokąta.

Przykład 7

a) Dany jest kwadrat o boku długości $latex 2x+1$. O ile zmniejszy się pole tej figury, jeśli jeden bok zmniejszymy o $latex 3$, a drugi bok o $latex 2$?
b) Dany jest trójkąt o podstawie równej $latex x+2$ i wysokości opuszczonej na tę podstawę równej $latex x+6$. O ile zwiększy się pole tego trójkąta, jeśli jego podstawę zwiększymy o $latex 3$?
c) Dany jest prostokąt o bokach długości $latex x+3,~2x+5.$ O ile zwiększy się pole tego prostokąta, jeżeli jeden bok zwiększymy o $latex 1$, a drugi o $latex 3$? Rozpatrz dwa przypadki.

Przykład 8

Rozwiąż równanie:
a) $latex \left( {x+1} \right)\left( {x-4} \right)={{x}^{2}}+9$
b) $latex \left( {x-3} \right)\left( {x+2} \right)=x\left( {x+1} \right)$
c) $latex \left( {x-2} \right)\left( {2x+5} \right)=\left( {2x-1} \right)\left( {x+2} \right)$

Przykład 9

Rozwiąż nierówność:
a) $latex {{x}^{2}}-\left( {x+1} \right)\left( {x+2} \right)\le 4x$
b) $latex \left( {2x+1} \right)\left( {5x-1} \right)- (2x+3\left( {2x-1} \right)\ge 0$
c) $latex \left( {3-x} \right)\left( {3x+3} \right)+3{{x}^{2}}<5$

Przykład 10

Ile liczb naturalnych spełnia podaną nierówność?
$latex \left( {x-1} \right)\left( {x+2} \right)-\left( {x-2} \right)\left( {x+1} \right)>6x-10$

Przykład 11

Dane są dwa prostokąty o wymiarach: a) $latex \left( {4x+5} \right)cm\cdot \left( {x+8} \right)cm$ b) $latex \left( {4x-4} \right)cm\cdot \left( {x+3} \right)cm$ Różnica pól tych prostokątów jest równa $latex 255~{\text{cm}^{2}}$. Oblicz obwody tych prostokątów.

Przykład 12

Dane są prostokąt o wymiarach $latex \left( {9x+1} \right)cm\cdot \left( {x+4} \right)cm$ oraz kwadrat o boku $latex \left( {3x+5} \right)$. Pole kwadratu jest o $latex 7$ większe od pola prostokąta. Wyznacz różnicę między obwodami kwadratu i prostokąta.