'

Monotoniczność ciągu

Definicja 1

Ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdej liczby $latex n\in {{N}_{+}}$ zachodzi nierówność: $latex {{a}_{{n+1}}}>{{a}_{n}}$.

Ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdej liczby $latex n\in {{N}_{+}}$ zachodzi nierówność: $latex {{a}_{{n+1}}}<{{a}_{n}}$.

Przykład 1

Uzasadnij, że podany ciąg nie jest monotoniczny
a) $latex 1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5$
b) $latex -2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-2\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-3\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-4\frac{1}{2}$

Przykład 2

Oblicz pięć początkowych wyrazów ciągu $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$. Czy jest to ciąg monotoniczny?
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\left( {\text{n}-4} \right)}^{2}}$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=-{{\text{n}}^{2}}+6\text{n}$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}-6\text{n}+7$

Przykład 3

Wyznacz wyraz ciągu $latex {{a}_{{n+1}}}$ ciągu $latex {{a}_{n}}$
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=7\text{n}-13$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\text{n}-3{{\text{n}}^{2}}$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{1}{\text{n}}$
d) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{\text{n}}{{3\text{n}+2}}$
e) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{\text{n}+1}}{{2\text{n}-5}}$
f) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{\text{n}+2}}{{{{\text{n}}^{2}}+3}}$

Przykład 4

Wykaż, że ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ jest ciągiem rosnącym
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=5\text{n}+11$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{1}{4}\text{n}+6$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{3\text{n}-1}}{{21}}$
d) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}-500$
e) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}-\text{n}-1$
f) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=2-\frac{3}{{\text{n}+1}}$

Przykład 5

Wykaż, że ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ jest ciągiem malejącym.
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=-0,6\text{n}+12$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{5-3\text{n}}}{4}$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=2-{{\left( {\text{n}-1} \right)}^{2}}$
d) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=16+\text{n}-{{\text{n}}^{2}}$
e) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{\text{n}+3}}{{\text{n}+2}}$
f) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=3-\frac{1}{{1-2\text{n}}}$

Definicja 2

Ciąg nazywamy ciągiem stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są równe.
Ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ nazywamy ciągiem niemalejącym, jeżeli dla każdej liczby $latex n\in {{N}_{+}}$ zachodzi nierówność: $latex {{a}_{{n+1}}}\ge {{a}_{n}}$.
Ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ nazywamy ciągiem nierosnącym, jeżeli dla każdej liczby $latex n\in {{N}_{+}}$ zachodzi nierówność: $latex {{a}_{{n+1}}}\le {{a}_{n}}$.

Przykład 6

Jakie liczby można wstawić w miejsce aby otrzymać ciąg niemalejący
a) $latex 3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ },\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ },\text{ }\!\!~\!\!\text{ }6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }7,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }8,\ldots $
b) $latex -2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ },\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ },\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ },\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ },\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\ldots $

Przykład 7

Wypisz dziesięć początkowych wyrazów dowolnego nierosnącego ciągu $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, dla którego:
a) $latex {{\text{a}}_{2}}={{\text{a}}_{3}}={{\text{a}}_{4}}=5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{7}}=1$
b) $latex {{\text{a}}_{3}}={{\text{a}}_{5}}=1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{8}}=-1$

Przykład 8

Wykres ciągu $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ jest zawarty w prostej przedstawionej na rysunku obok. Określ monotoniczność tego ciągu.

Przykład 9

Wykres ciągu $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ jest zawarty w prostej określonej równaniem $latex y=\left( {2p-6} \right)x+3$. Określ wartość parametru $latex p$ tak, aby ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ był
a) malejący
b) rosnący
c) stały

Przykład 10

Dla jakich wartości parametru $latex p$ ciąg $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ jest malejący?
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\left( {2\text{p}+1} \right)\text{n}+1$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\left( {{{\text{p}}^{2}}-4} \right)\text{n}-3$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\left( {{{\text{p}}^{2}}-3\text{p}-4} \right)\text{n}+7$
d) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\left( {7-{{\text{p}}^{2}}} \right)\text{n}$

Przykład 11

Zbadaj monotoniczność ciągów
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}+2\text{n}$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{2\text{n}+3}}{{\text{n}+1}}$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{3\text{n}+2}}{{\text{n}+3}}$
d) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}-3\text{n}+2$