Monotoniczność funkcji – rozwiązywanie zadań [ROZSZERZENIE]
Jak opisujemy monotoniczność funkcji?
Przykład 1
Zbadaj, która funkcja jest rosnąca, a która malejąca
a) $f\left( x \right) = 3-2x,\ x\mathbb{\in R}$
b) $f\left( x \right) = \sqrt{2}x,\ x\mathbb{\in R}$
c) $f\left( x \right) = 8x+2\sqrt{5},\ x\mathbb{\in R}$
Przykład 2
Wykaż, że funkcja
a) $f\left( x \right) = 2x^{2}+3$ jest malejąca w przedziale $( – \infty,\ 0)$
b) $f\left( x \right) = 7-4x^{2}$ jest rosnąca w przedziale $( – \infty,\ 0)$
c) $f\left( x \right) =-x^{2}+6$ jest malejąca w przedziale $(0,\ + \infty)$
Przykład 3
Wykaż, że funkcja
a) $f\left( x \right) =-5x^{2}+10$ jest rosnąca w przedziale $( – \infty,\ -1)$
b) $f\left( x \right) = 3x^{2}-18$ jest malejąca w przedziale $( – \infty,\ -3)$
Przykład 4
Wykaż, że funkcja $f$ opisana wzorem $f\left( x \right) = – \frac{7}{x}$
a) jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}_{+}$
b) jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}_{-}$
c) nie jest rosnąca w zbiorze$\mathbb{R}_{+} \cup \mathbb{R}_{-}$
Przykład 5
Wykaż, że funkcja $f$ opisana wzorem $f\left( x \right) = \frac{x+4}{x-2}$
a) jest malejąca w przedziale $\left( – \infty,\ 2 \right)$
b) jest malejąca w przedziale $\left( 2,\ + \infty \right)$
c) nie jest malejąca w zbiorze $\mathbb{R -}\{ 2\}$
Przykład 6
Udowodnij, że funkcja
a) $f\left( x \right) = \sqrt{2x+1}$ jest rosnąca
b) $f\left( x \right) = \sqrt{6-x}$ jest malejąca
c) $f\left( x \right) = 3\sqrt{x-4}-5$ jest rosnąca
Przykład 7
Zbadaj monotoniczność funkcji
a) $f\left( x \right) = \frac{4}{5-x}$ w przedziale $\left( 5,\ + \infty \right)$
b) $f\left( x \right) = \frac{3x+2}{x+2}$ w przedziale $(-2,\ + \infty)$
Przykład 8
Funkcja $y = f(x)$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$. Wykaż, że funkcja $y = g(x)$, gdzie $g\left( x \right) = 3f(x)$, jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$.
Przykład 9
Funkcja $y = f(x)$ jest malejąca w zbiorze $\mathbb{R}$. Wykaż, że funkcja $g\left( x \right) =-4f(x)$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$.
Przykład 10
Funkcja $y = f\left( x \right)$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$. Określ monotoniczność funkcji $g\left( x \right) = \left( 2-k \right)f(x)$, ze względu na wartość parametru $k,\ \ k\mathbb{\in R}$.