'

Monotoniczność funkcji – rozwiązywanie zadań

Jak opisujemy monotoniczność funkcji?

Przykład 1

Zbadaj, która funkcja jest rosnąca, a która malejąca

a) $f\left( x \right) = 3-2x,\ x\mathbb{\in R}$

b) $f\left( x \right) = \sqrt{2}x,\ x\mathbb{\in R}$

c) $f\left( x \right) = 8x+2\sqrt{5},\ x\mathbb{\in R}$

Przykład 2

Wykaż, że funkcja

a) $f\left( x \right) = 2x^{2}+3$ jest malejąca w przedziale $( – \infty,\ 0)$

b) $f\left( x \right) = 7-4x^{2}$ jest rosnąca w przedziale $( – \infty,\ 0)$

c) $f\left( x \right) =-x^{2}+6$ jest malejąca w przedziale $(0,\ + \infty)$

Przykład 3

Wykaż, że funkcja

a) $f\left( x \right) =-5x^{2}+10$ jest rosnąca w przedziale $( – \infty,\ -1)$

b) $f\left( x \right) = 3x^{2}-18$ jest malejąca w przedziale $( – \infty,\ -3)$

Przykład 4

Wykaż, że funkcja $f$ opisana wzorem $f\left( x \right) = – \frac{7}{x}$

a) jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}_{+}$

b) jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}_{-}$

c) nie jest rosnąca w zbiorze$\mathbb{R}_{+} \cup \mathbb{R}_{-}$ 

Przykład 5

Wykaż, że funkcja $f$ opisana wzorem $f\left( x \right) = \frac{x+4}{x-2}$

a) jest malejąca w przedziale $\left( – \infty,\ 2 \right)$

b) jest malejąca w przedziale $\left( 2,\ + \infty \right)$

c) nie jest malejąca w zbiorze $\mathbb{R -}\{ 2\}$

Przykład 6

Udowodnij, że funkcja

a) $f\left( x \right) = \sqrt{2x+1}$ jest rosnąca

b) $f\left( x \right) = \sqrt{6-x}$ jest malejąca

c) $f\left( x \right) = 3\sqrt{x-4}-5$ jest rosnąca

Przykład 7

Zbadaj monotoniczność funkcji

a) $f\left( x \right) = \frac{4}{5-x}$ w przedziale $\left( 5,\ + \infty \right)$

b) $f\left( x \right) = \frac{3x+2}{x+2}$ w przedziale $(-2,\ + \infty)$

Przykład 8

Funkcja $y = f(x)$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$. Wykaż, że funkcja $y = g(x)$, gdzie $g\left( x \right) = 3f(x)$, jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$.

Przykład 9

Funkcja $y = f(x)$ jest malejąca w zbiorze $\mathbb{R}$. Wykaż, że funkcja $g\left( x \right) =-4f(x)$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$.

Przykład 10

Funkcja $y = f\left( x \right)$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}$. Określ monotoniczność funkcji $g\left( x \right) = \left( 2-k \right)f(x)$, ze względu na wartość parametru $k,\ \ k\mathbb{\in R}$.