'

Monotoniczność funkcji [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]

Definicja 1

Funkcję $latex f: X \to \mathbb{R}$ nazywamy rosnącą, jeśli dla dowolnych argumentów $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in X$spełniony jest warunek:
jeśli $latex {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, to $latex f\left( {{{x}_{1}}} \right)<f\left( {{{x}_{2}}} \right)$

Przykład 1

Wykaż, że funkcja $latex f\left( x \right)=2x+3,~x\in \mathbb{R}$ jest rosnąca.

Przykład 2

Uzasadnij, że funkcja $latex f\left( x \right)=-\frac{2}{x}$ dla $latex x\in \left( {0,~+\infty } \right)$ jest rosnąca.

Definicja 2

Funkcję $latex f: X \to \mathbb{R}$ nazywamy malejącą, jeśli dla dowolnych argumentów $latex {{x}_{1}},~{{x}_{2}}\in X$spełniony jest warunek:
jeśli $latex {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, to $latex f\left( {{{x}_{1}}} \right)>f\left( {{{x}_{2}}} \right)$

Przykład 3

Uzasadnij, że funkcja $latex f\left( x \right)=-\frac{1}{2}x+3$ dla $latex x\in \mathbb{R}$ jest malejąca.

Przykład 4

Wykaż, że funkcja $latex f:\left( {0,~+\infty } \right)\to \mathbb{R}$ określona wzorem $latex f\left( x \right)=\frac{2}{x}$ jest malejąca.

Definicja 3

Funkcję $latex f: X \to \mathbb{R}$ nazywamy stałą, jeśli dla dowolnych argumentów $latex {{x}_{1}},~{{x}_{2}} \in X$prawdziwa jest równość:
$latex f\left( {{{x}_{1}}} \right)=f\left( {{{x}_{2}}} \right)$

Definicja 4

Funkcję $latex f: X \to \mathbb{R}$ nazywamy niemalejącą, jeśli dla dowolnych argumentów $latex {{x}_{1}},~{{x}_{2}}\in X$ spełniony jest warunek:
jeśli $latex {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, to $latex f\left( {{{x}_{1}}} \right)\le f\left( {{{x}_{2}}} \right)$

Przykład 5

Określ czy na poniższym rysunku przedstawiono funkcję niemalejącą?

Definicja 5

Funkcję $latex f: X \to \mathbb{R}$ nazywamy nierosnącą, jeśli dla dowolnych argumentów$latex {{x}_{1}},~{{x}_{2}}\in X$ spełniony jest warunek:
jeśli $latex {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, to $latex f\left( {{{x}_{1}}} \right)\ge f\left( {{{x}_{2}}} \right)$

Przykład 6

Wskaż wykresy funkcji rosnących spośród podanych wykresów.

Przykład 7

Spośród podanych wykresów wskaż wykresy funkcji malejących.

Przykład 8

Podaj maksymalne przedziały monotoniczności funkcji przedstawionej na rysunku:

Przykład 9

Naszkicuj wykres funkcji $latex f$, a następnie na jego podstawie określ przedziały monotoniczności tej funkcji.
$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left\{ {\begin{matrix} {-4,~\text{jeśli}~x\in (-\infty ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-2 \rangle} \\ {-x,~\text{jeśli}~x\in (-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4\rangle } \\ {-1,~\text{jeśli}~x\in \left( {4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty } \right)} \end{matrix}} \right.$

$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left\{ {\begin{matrix} {-{{\text{x}}^{2}},~\text{jeśli}~x\in \left\{ {-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1} \right\}} \\ {\sqrt{\text{x}},~\text{jeśli}~x\in \langle 0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4\rangle } \\ {3,~\text{jeśli}~x\in \left( {4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty } \right)} \end{matrix}} \right.$

$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left\{ {\begin{matrix} {-x+2,~\text{jeśli}~x\in \langle -3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-1 \rangle} \\ {2x+1,~\text{jeśli}~x\in \left( {-1,~1} \right)} \\ {-x+4,~\text{jeśli}~x\in \langle 1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3 \rangle } \end{matrix}} \right.$

Przykład 10

Podaj przykład wykresu funkcji, która spełnia jednocześnie warunki:
• dziedziną funkcji jest zbiór $latex \langle -5, 7 \rangle$,
• zbiorem wartości funkcji jest zbiór $latex \langle -5, 4 \rangle$,
• funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $latex \langle -3, 2\rangle ,\langle 5, 7 \rangle$,
• funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $latex \langle -5, -3\rangle ,\langle 2, 5 \rangle$.