'

Nierówności trygonometryczne cz. 1

Wstęp

Przykład 1

Naszkicuj wykres funkcji $latex y=\sin x$ dla $latex x\in \langle -2\pi ,~2\pi \rangle$. Na podstawie wykresu tej funkcji rozwiąż następujące nierówności:
a) $latex \sin \text{x}>\frac{1}{2}$ dla $latex \text{x}\in \langle -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ },\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\rangle$
b) $latex \sin \text{x}\le \frac{{\sqrt{3}}}{2}$ dla $latex \text{x}\in \langle 0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\rangle$
c) $latex \sin \text{x}\ge 0$ dla $latex \text{x}\in \langle 0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\rangle$
d) $latex \sin \text{x}\ge 0$ dla $latex \text{x}\in \mathbb{R}$
e) $latex \sin \text{x}>-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ dla $latex \text{x}\in \langle 0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\rangle$
f) $latex \sin \text{x}>-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ dla $latex \text{x}\in \mathbb{R}$

Przykład 2

Naszkicuj wykres funkcji $latex y=\cos x$ dla $latex x\in \langle -2\pi, 2\pi\rangle$. Na podstawie wykresu tej funkcji rozwiąż następujące nierówności:
a) $latex \cos \text{x}\le \frac{1}{2}$ dla $latex \text{x}\in \langle -\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ },~\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\rangle$
b) $latex \cos \text{x}\le \frac{1}{2}$ dla$latex \text{ }\!\!~\!\!\text{ x}\in \mathbb{R}$
c) $latex \cos \text{x}>\frac{1}{2}$ dla $latex \text{x}\in \langle 0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\rangle$
d) $latex \cos \text{x}>\frac{1}{2}$ dla $latex \text{x}\in \mathbb{R}$
e) $latex \cos \text{x}\le \frac{{\sqrt{2}}}{2}$ dla $latex \text{x}\in \langle -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ },~\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\rangle$
f) $latex \cos \text{x}<\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ dla $latex \text{x}\in \mathbb{R}$

Przykład 3

Naszkicuj wykres funkcji $latex y=\text{tg}x$ dla $latex x\in \left( {-\frac{3}{2}\pi ,~-\frac{\pi }{2}} \right)\cup \left( {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)\cup \left( {\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi } \right)$.
Na podstawie wykresu tej funkcji rozwiąż następujące nierówności:
a) $latex \text{tgx}>1$ dla $latex \text{x}\in \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( {-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2},\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}} \right)$
b) $latex \text{tgx}>1$ dla $latex \text{x}\in ~\mathbb{R}$
c) $latex \text{tgx}\ge -\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ dla $latex \text{x}\in \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( {\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2},\frac{{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{2}} \right)$
d) $latex \text{tgx}\ge -\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ dla $latex \text{x}\in ~\mathbb{R}$
e) $latex \text{tgx}<\sqrt{3}$ dla $latex \text{x}\in \left( {-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2},\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}} \right)\cup \left( {\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2},\frac{3}{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right)$
f) $latex \text{tgx}<\sqrt{3}$ dla $latex \text{x}\in ~\mathbb{R}$

Przykład 4

Rozwiąż nierówności:
a) $latex \sqrt{2}\sin \text{x}>1$
b) $latex |\sin \text{x}|\le \frac{1}{2}$
c) $latex 2|\sin \text{x}|\le \sqrt{3}$

Przykład 5

Rozwiąż nierówności:
a) $latex 2{{\cos }^{2}}x-1\ge 0$
b) $latex \left| {\cos x} \right|>\frac{1}{2}$
c) $latex \left| {\cos x} \right|<1$

Przykład 6

Rozwiąż nierówności:
a) $latex \left( {2\sin x-3} \right)\left( {2\sin x+1} \right)>0$ dla $latex x\in ~\left( {0,2\pi } \right)$
b) $latex 2{{\sin }^{2}}x-\sin x>0$
c) $latex 4{{\cos }^{2}}x\ge 1+4\sin x$