Odczytywanie własności funkcji z wykresu [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Wstęp – odczytywanie dziedziny funkcji
Dziedzina funkcji $latex y=f\left( x \right)$ to zbiór wszystkich argumentów $latex x$, dla których funkcja jest określona.
Ozn. $latex D,~{{D}_{f}}$
Przykład 1
Odczytywanie zbioru wartości funkcji
Z wykresu funkcji możemy odczytać nie tylko wartość jaką ta funkcja przyjmuje dla danego argumentu, ale także zbiór wszystkich liczb, które są wartościami tej funkcji. Zbiór ten nazywamy zbiorem wartości funkcji.
Przykład 2
Z wykresu funkcji z przykładu 1 odczytaj zbiór wartości funkcji.
Przykład 3
Na podstawie wykresu funkcji $latex f\left( x \right)=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}$ odczytaj zbiór wartości funkcji $latex f$ w podanym przedziale
a) $latex \langle -2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2 \rangle$
b) $latex \left( {0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4} \right)$
c) $latex \left( {-\infty ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right)$
Przykład 4
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $latex f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ danej wzorem $latex f\left( x \right)=-\frac{1}{2}x+1$. Podaj zbiór wartości funkcji danej tym samym wzorem, jeśli jej dziedziną jest zbiór $latex D$.
a) $latex \text{D}=\langle -2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2\rangle $
b) $latex \text{D}=\langle -4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0)\cup \langle 2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }6)$
c) $latex \text{D}=\langle 4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty )$
Przykład 5
Odczytaj najmniejszą i największą wartość funkcji. Dla jakich argumentów są one przyjmowane?
Przykład 6
Odczytaj z wykresu funkcji $latex f:$
• dziedzinę
• zbiór wartości
• najmniejszą wartość i największą wartość oraz argumenty, dla których są one przyjmowane
• maksymalne przedziały monotoniczności
Przykład 7
Naszkicuj wykres funkcji $latex f\left( x \right)=\frac{1}{2}x+2$ o dziedzinie $latex D$. Odczytaj z wykresu zbiór wartości tej funkcji.
a) $latex \text{D}=\langle 0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty )$
b) $latex \text{D}=\langle -4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }6)$
c) $latex \text{D}=\langle -2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0)\cup \langle 2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }6\rangle $
Przykład 8
Funkcja $latex f$ dana jest wzorem $latex f\left( x \right)=2x-1$. Podaj jej dziedzinę, jeśli zbiór wartości jest równy
a) $latex \text{ZW}=(-3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3\rangle $
b) $latex \text{ZW}=\left( {-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1} \right)\cup \left( {1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty } \right)$
c) $latex \text{ZW}=\left( {1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3} \right)\cup \left\{ 5 \right\}$
d) $latex \text{ZW}=\left\{ {0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5} \right\}$
Przykład 9
Na podstawie wykresu funkcji $latex f\left( x \right)=-\left| x \right|+2$ przedstawionej na rysunku, podaj jej wartość najmniejszą i największą oraz argumenty, dla których są one przyjmowane, jeśli dziedziną tej funkcji będzie:
a) $latex \text{D}=\langle 1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4\rangle $
b) $latex \text{D}=\langle -4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3)$
c) $latex \text{D}=(-\infty ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2\rangle $
Przykład 10
Naszkicuj wykres funkcji, która spełnia jednocześnie następujące warunki:
a) $latex D=\langle -4,~3\rangle $
b) $latex ZW=\langle -5,~5\rangle $
c) $latex f\left( 2 \right)=4$
Przykład 11
Naszkicuj wykres dowolnej funkcji
$latex f:\langle -3,~5\rangle \to \mathbb{R}$,
której zbiór wartości jest równy
a) $latex \langle -3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5\rangle $
b) $latex \langle -3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0\rangle \cup (2,4\rangle $
c) $latex \langle -2,1)\cup \left\{ 3 \right\}$
Przykład 12
Na podstawie wykresu funkcji $latex f:\langle-5,~5\rangle\to \mathbb{R}$ podaj jej miejsca zerowe oraz te argumenty $latex x$, dla których spełnione jest równanie $latex f\left( x \right)=3$.
Przykład 13
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $latex y=f\left( x \right)$ określonej dla $latex x\in \langle-7,~8\rangle$. Odczytaj z wykresu i zapisz
a) największą wartość funkcji $latex f,$
b) miejsca zerowe funkcji,
c) zbiór rozwiązań nierówności $latex f\left( x \right)<0$,
d) zbiór rozwiązań nierówności $latex f\left( x \right)\ge 0$.
Przykład 14
Na podstawie wykresu funkcji $latex y=f\left( x \right)$ odczytaj z niego
a) dziedzinę funkcji,
b) zbiór wartości funkcji,
c) przedział, w którym funkcja $latex f$ przyjmuje tylko wartości ujemne,
d) argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość $latex 2$.
Przykład 15
Z wykresu funkcji $latex f$ odczytaj jej miejsca zerowe, zbiór rozwiązań nierówności $latex f\left( x \right)>0$ oraz nierówności $latex f\left( x \right)\le 0$.
Przykład 16
Na podstawie wykresu podaj:
a) dziedzinę i zbiór wartości funkcji $latex f$
b) wartość najmniejszą i największą funkcji $latex f$
c) zbiór wszystkich miejsc zerowych funkcji $latex f$
d) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $latex f$ przyjmuje wartości ujemne
e) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $latex f$ przyjmuje wartości dodatnie.
Przykład 17
Naszkicuj wykres funkcji $latex f:~\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Odczytaj z wykresu rozwiązanie równania $latex f\left( x \right)=3$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $latex f\left( x \right)\le 1$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2\text{x}-1$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-3\text{x}+1$
Przykład 18
Naszkicuj wykres funkcji $latex \text{f}:\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, a następnie odczytaj z niego rozwiązania równania $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $latex \text{f}\left( \text{x} \right)\ge 1$
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left\{ {\begin{matrix} {5~\text{dla}~x\in \left( {-\infty ,~-2} \right)} \\ {\left| \text{x} \right|~\text{dla}~x\in \langle -2,~3)} \\ {2~\text{dla}~x\in \langle 3, +\infty )} \end{matrix}} \right.$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=$ $latex \left\{ {\begin{matrix} {2~\text{dla}~x\in (-\infty , -3\rangle} \\ {\left| {2\text{x}} \right|~\text{dla}~x\in (-3, 2\rangle} \\ {4~\text{dla}~x\in \left( {2,+\infty } \right)} \end{matrix}} \right.$
Przykład 19
Na podstawie wykresu funkcji $latex f$ odpowiedz na pytania:
a) Jaka jest dziedzina i zbiór wartości funkcji $latex f$?
b) Dla jakich argumentów wartość funkcji wynosi $latex 2$?
c) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze od $latex 2$?
d) W jakich przedziałach funkcja jest rosnąca?
e) Dla jakiego argumentu wartość funkcji $latex f$ jest największa? Ile wynosi największa wartość funkcji?
Przykład 20
Na podstawie wykresu funkcji $latex f$:
a) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji $latex f$.
b) Podaj zbiór wszystkich tych argumentów, dla których wartość funkcji $latex f$ wynosi $latex 3$.
c) Podaj najmniejszą i największą wartość funkcji $latex f$ (o ile istnieje).
d) Podaj przedziały monotoniczności.
e) Podaj miejsca zerowe.
f) Uzupełnij zapis:
$latex f\left( x \right)>0\Leftrightarrow $
$latex f\left( x \right)<0\Leftrightarrow $
g) Oblicz wartość wyrażenia:
$latex f\left( {-5} \right)+f\left( 0 \right)-2f\left( 6 \right)$