Permutacje [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Definicja 1
Permutacją $latex n$-elementowego zbioru $latex A$, gdzie $latex n\in {{N}_{+}}$, nazywamy każdy $latex n$-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów zbioru $latex A$.
Przykład 1
Na ile sposobów można ustawić na półce:
a) dwie różne książki;
b) trzy różne książki;
c) cztery różne książki;
d) pięć różnych książek?
Definicja 2
Dla liczby naturalnej $latex n>1$ symbol $latex n!$ Oznacza iloczyn liczb naturalnych od $latex 1$ do $latex n$. $latex n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot \left( {n-2} \right)\cdot \left( {n-1} \right)\cdot n$
Przykład 2
a) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć, wykorzystując wszystkie cyfry liczby $latex 2351$?
b) Ile liczb pięciocyfrowych można utworzyć wykorzystując wszystkie cyfry liczby $latex 97531?$
Przykład 3
Oblicz ile jest liczb czterocyfrowych, podzielnych przez $latex 5$, utworzonych z cyfr $latex 1,~2,~3,~5$, jeśli cyfry się nie powtarzają.
Przykład 4
W biegu uczestniczy siedmiu zawodników.
a) Na ile sposobów mogą oni przekroczyć metę, przy założeniu, że każdy z nich ukończy bieg?
b) Ile może być wyników biegu, jeśli zawodnik z numerem piątym zajął pierwsze miejsce?
Przykład 5
Ile różnych liczb sześciocyfrowych można utworzyć z cyfr $latex 1,~2,~3,~4,~5,~6$, przy założeniu, że żadna cyfra się nie powtarza.
Przykład 6
Rozważmy liczby czterocyfrowe, w których zapisie każda z cyfr $latex 2,~3,~4,~5$ występuje dokładnie jeden raz.
a) Ile jest takich liczb?
b) Ile jest takich liczb większych od pięciu tysięcy?
c) Ile jest takich liczb większych od czterech tysięcy?
d) Ile jest takich liczb mniejszych od trzech tysięcy?
Przykład 7
Ile różnych wyrazów mających sens lub nie można utworzyć przestawiając litery wyrazu:
a) NIE
b) LATO
c) CZTERY
Przykład 8
Oblicz ile jest kodów sześcioliterowych utworzonych z różnych liter ze zbioru {A, B, C, D, E, F}?
Czy liczba kodów pięcioliterowych utworzonych z różnych liter z tego samego zbioru jest mniejsza od liczby kodów sześcioliterowych?
Przykład 9
Na ile sposobów można zaparkować cztery samochody:
a) na czterech miejscach parkingowych;
b) na pięciu miejscach parkingowych? (jedno miejsce pozostanie puste)
Przykład 10
Od windy zatrzymującej się na 9 piętrach wsiadło pięć osób. Na ile sposobów osoby te mogą opuścić windę, jeśli każda z nich:
a) wysiada na innym piętrze;
b) wysiada na innym piętrze, ale nikt nie wysiada na 5 i 7 piętrze?
Przykład 11
Autobusem zatrzymującym się na 10 przystankach jedzie 7 pasażerów. Na ile sposobów mogą oni wysiąść z autobusu, jeśli każdy z nich:
a) wysiada na innym przestanku;
b) wysiada na innym przystanku, ale nikt z nich nie wysiada na przystanku końcowym
Przykład 12
Na ile sposobów można ustawić w szeregu grupę $latex 3$ chłopców i $latex 3$ dziewcząt, aby dwie osoby tej samej płci nie stały obok siebie?
Przykład 13
a) Na ile sposobów można ustawić w szeregu grupę $latex 5$ chłopców i $latex 4$ dziewcząt, tak aby dwie osoby tej samej płci nie stały obok siebie?
b) Na ile sposobów można ustawić w szeregu $latex 5$ chłopców i $latex 3$ dziewczynki, tak aby dziewczynki stały na początku?
Przykład 14
Sześciu kolegów wybrało się do kina (Adam, Bartek, Czarek, Damian, Elwin, Filip). Na ile sposobów mogą oni usiąść:
a) na sześciu miejscach.
b) tak aby Bartek i Czarek siedzieli obok siebie w podanym porządku.
c) tak aby Bartek i Czarek siedzieli obok siebie w dowolnym porządku.
d) tak aby Adam, Bartek i Czarek siedzieli obok siebie w ustalonym porządku.
e) tak aby Adam, Bartek i Czarek siedzieli obok siebie.
f) tak aby między Czarkiem i Damianem siedziało dwóch kolegów.