'

Pierwiastek kwadratowy

Przykład 1

Pierwiastkiem stopnia drugiego (pierwiastkiem kwadratowym) z nieujemnej liczby [latex]a[/latex] nazywamy taką liczbę nieujemną [latex]b[/latex], dla której [latex]b^2=a[/latex].
Zapis symboliczny:
Jeśli [latex]a\geq0[/latex], to
[latex]\sqrt a=b\Leftrightarrow b^2=a[/latex] i [latex]\ b\geq0[/latex].

Oblicz:

a) [latex]\sqrt0; \sqrt1;\sqrt{16};\sqrt{121};\ \sqrt{196};\ [/latex]

b) [latex]\sqrt{441};\ \sqrt{625};\ \sqrt{1024};\ \sqrt{3600}[/latex]

Przykład 2

Oblicz:

[latex]\sqrt{7^2};\ \sqrt{\left(-5\right)^2};\ \sqrt{\left(-4\right)^2};\ \sqrt{\left(-1,4\right)^2}[/latex] [latex]\ \sqrt{{12}^2}\ ;\ \sqrt{\left(-\sqrt3\right)^2}\ ;\sqrt{\left(-17\right)^2}\ [/latex]

Przykład 3

Oblicz obwód kwadratu o polu równym:

a) [latex]3,61\ cm^2[/latex]        b) [latex]4,41\ cm^2[/latex]

Przykład 4

Pierwiastek iloczynu:
[latex]\sqrt{a\cdot\ b}=\sqrt a\cdot\sqrt b[/latex]
Pierwiastek ilorazu:
[latex]\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}[/latex]

Oblicz:

a) [latex]\sqrt{9\cdot36};\ \sqrt{0,16\cdot25}\ ;\ \sqrt{0,04\cdot324}[/latex]

b) [latex]\sqrt{\left(\frac{16}{81}\right)};\sqrt{\frac{256}{121}};\ \sqrt{\frac{441}{144}};\sqrt{\frac{625}{169}}[/latex]

c) [latex]\sqrt3\cdot\sqrt{12};\ \sqrt3\cdot\sqrt5\cdot\sqrt{15}[/latex]

d) [latex]\frac{\sqrt{27}}{\sqrt3};\ \frac{\sqrt5}{\sqrt{125}};\ \frac{\sqrt{10}\cdot\sqrt{12}}{\sqrt{30}}\ [/latex]

Przykład 5

Oblicz:

a) [latex]\sqrt{144}+\sqrt{36}-\sqrt{256}[/latex]

b) [latex]\sqrt{1,96}-\sqrt{2,89}-\sqrt{0,04}[/latex]

c) [latex]\sqrt{0,64}+\sqrt{3,24}+\sqrt{6,25}[/latex]

d) [latex]\sqrt{\frac{169}{100}}-\sqrt{\frac{49}{100}}+\sqrt{\frac{144}{25}}[/latex]

e) [latex]\sqrt{1\frac{9}{16}}+\sqrt{2\frac{1}{4}}-\sqrt{1\frac{7}{9}}[/latex]

 

Przykład 6

Wyłącz wspólny czynnik przed pierwiastek:

a) [latex]\sqrt{18};\ \sqrt{27};\ \sqrt{48};\ \sqrt{80};[/latex]

b) [latex]\sqrt{162}\ ;\ \sqrt{288};\ \sqrt{392};\ \sqrt{675}[/latex]

 

Przykład 7

Zapisz daną liczbę w postaci [latex]a\sqrt3:[/latex]

a) [latex]\sqrt{12}+\sqrt{75}[/latex]

b) [latex]\sqrt{48}-\sqrt{300}+\sqrt{27}[/latex]

c) [latex]\sqrt{363}\ -\sqrt{147}\ -\sqrt{192}[/latex]

d) [latex]\sqrt{12}\ +\sqrt{243}-\sqrt{108}[/latex]

Przykład 8

Oblicz wartość wyrażenia, wynik zapisz w postaci [latex]a\sqrt\ b:[/latex]

a) [latex]\sqrt{12}+\sqrt{75}+\sqrt{27}+\sqrt{48}[/latex]

b) [latex]\sqrt{28}-\sqrt{175}+\sqrt{252}[/latex]

c) [latex]\sqrt{800}+\sqrt{32}-\sqrt{200}+\sqrt{128}[/latex]

d) [latex]0,4\sqrt{50}+0,6\sqrt{72}-0,5\sqrt{32}[/latex]

Przykład 9

Oblicz:

a) [latex]\frac{3\sqrt2-4\sqrt6}{\sqrt2}[/latex]

b) [latex]\sqrt5\left(\sqrt5-2\ \right)+2\sqrt5[/latex]

c) [latex]5\cdot\left(-2\sqrt3\right)+6\sqrt3:2+4\sqrt3[/latex]

d) [latex]3\sqrt2\left(\sqrt8+4\sqrt6-3\sqrt2\right)[/latex]

Przykład 10

Oblicz:

a) [latex]\sqrt8\cdot\sqrt{50}[/latex]     b) [latex]\sqrt{20}\cdot\sqrt{45}[/latex]     c) [latex]\sqrt{15}\cdot\sqrt{60}[/latex]     d) [latex]\sqrt{60}\cdot\sqrt{240}[/latex]     e) [latex]\frac{\sqrt{150}\cdot\sqrt{210}}{\sqrt{35}\ }[/latex]     f) [latex]\frac{\sqrt{260}\cdot\sqrt{392}}{\sqrt{28}\cdot\sqrt{130}\ }[/latex]

Przykład 11

Oblicz pole trapezu o podstawach długości [latex]\sqrt5[/latex] i [latex]7\sqrt5[/latex] oraz wysokości równej [latex]\sqrt{125}[/latex].

Przykład 12

Usuń niewymierność z mianownika:

[latex]\frac{1}{\sqrt2}\;\ \frac{3}{\sqrt5};\ \frac{\sqrt3}{\sqrt2};\ \frac{6}{7\sqrt2};\ \frac{7}{2\sqrt{10}};\ \frac{2}{5\sqrt{14}};\ \frac{4+\sqrt3}{\sqrt3};\ \frac{6\sqrt2-8}{3\sqrt2}[/latex]