'

Pierwiastek n-tego stopnia

Definicja 1

Definicja pierwiastka $latex n$-tego stopnia zależy od parzystości liczby $latex n$.

• Jeśli $latex n$ jest liczbą parzystą, to dla dowolnej liczby nieujemnej $latex a\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$zachodzi: $latex \sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow {{b}^{n}}=a$.

• Jeśli $latex n$ jest liczbą nieparzystą, to dla dowolnej liczby rzeczywistej $latex a$ zachodzi: $latex \sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow {{b}^{n}}=a$.

Przykład 1

Oblicz:
a) $latex \sqrt[4]{1};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt[4]{{16}};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt[4]{{81}};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt[4]{{256}};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt[4]{{625}}$

b) $latex \sqrt[5]{{32}};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt[5]{{243}};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt[5]{{-1}};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt[5]{{-3125}}$

Przykład 2

Oblicz:
a) $latex \sqrt[4]{{\left( {-16} \right)\cdot \left( {-81} \right)}}$
b) $latex \sqrt[4]{{625\cdot 16}}$
c) $latex \sqrt[5]{{-32\cdot 243}}$
d) $latex \sqrt[5]{{3125\cdot 1024}}$
e) $latex \sqrt[6]{{64\cdot 729}}$
f) $latex \sqrt[4]{{\left( {-1} \right):\left( {-16} \right)}}$
g) $latex \sqrt[5]{{\frac{{3125}}{{32}}}}$
h) $latex \sqrt[5]{{-\frac{{100000}}{{243}}}}$
i) $latex \sqrt[6]{{-\frac{{729}}{{-64}}}}$

Przykład 3

Oblicz:
a) $latex 5\sqrt[7]{{-1}}+3\sqrt[3]{{-64}}+2\sqrt{{121}}$
b) $latex 4\sqrt{{16}}-2\sqrt[4]{{625}}+\sqrt[3]{{27}}$
c) $latex 2\cdot \left( {5\cdot \sqrt{{{{{\left( {-6} \right)}}^{2}}}}+3\sqrt[3]{{-125}}-2\sqrt[4]{{16}}} \right)$
d) $latex \sqrt[3]{{\sqrt{{361}}-\sqrt{{121}}}}:\left( {3-\sqrt[3]{{-125}}} \right)$
e) $latex 2\sqrt[3]{{-64}}-7\sqrt[6]{{64}}-5\sqrt[5]{{-32}}$
f) $latex \sqrt[3]{{0,125}}+2\sqrt{{9\cdot 16}}-5\sqrt[4]{{625}}$

Przykład 4

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka:
a) $latex \sqrt{{60}}$
b) $latex \sqrt[3]{{-54}}$
c) $latex \sqrt[4]{{64}}$
d) $latex \sqrt[4]{{243}}$
e) $latex \sqrt[5]{{520}}$
f) $latex \sqrt[6]{{576}}$

Przykład 5

Włącz wspólny czynnik pod znak pierwiastka:
a) $latex 2\sqrt{5}$
b) $latex 3\sqrt[3]{4}$
c) $latex 5\sqrt[4]{3}$
d) $latex 4\sqrt[4]{4}$
e) $latex 3\sqrt[5]{2}$
f) $latex 2\sqrt[7]{{10}}$

Własność

a) $latex \sqrt{{\sqrt{a}}}=\sqrt[4]{a}$
b) $latex \sqrt[3]{{\sqrt{a}}}=\sqrt[6]{a}$
c) $latex \sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}}=\sqrt[{n\cdot m}]{a}$

Przykład 6

Oblicz wartość wyrażenia:
a) $latex \sqrt{{6\sqrt{{162\cdot 32}}\cdot \sqrt[3]{{54}}}}-\sqrt[6]{{128}}$
b) $latex \sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{{48}}-\sqrt[4]{{243}}$
c) $latex \sqrt[4]{{16}}-2\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{{-{{{\left( {-2} \right)}}^{5}}}}$
d) $latex \sqrt[3]{{10\sqrt{8}\cdot \sqrt{{50}}\cdot \sqrt[3]{{250\cdot {{2}^{2}}}}}}+\sqrt[3]{{-2}}$
e) $latex \sqrt[4]{{121\cdot 81+121\cdot 36+4\cdot 121}}$

Zadania z maturZadanie 1. [maj 2013]

Liczba $latex \frac{{\sqrt{{50}}-\sqrt{{18}}}}{{\sqrt{2}}}$ jest równa
A. $latex 2\sqrt{2}$
B. 2
C. $latex 4$
D. $latex \sqrt{{10}}-\sqrt{6}$

Zadanie 2. [sierpień 2015]

Liczba $latex \sqrt{{\frac{9}{7}}}+\sqrt{{\frac{7}{9}}}$ jest równa
A. $latex \sqrt{{\frac{{16}}{{63}}}}$
B. $latex \frac{{16}}{{3\sqrt{7}}}$
C. $latex 1$
D. $latex \frac{{3+\sqrt{7}}}{{3\sqrt{7}}}$

Zadanie 3. [czerwiec 2016]

Liczba $latex \sqrt[3]{{3\sqrt{3}}}$ jest równa
A. $latex \sqrt[6]{3}$
B. $latex \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt[4]{3}$
C. $latex \sqrt[3]{3}$
D. $latex \sqrt{3}$

Zadanie 4. [maj 2018]

Liczba $latex \sqrt[3]{{\frac{7}{3}}}\cdot \sqrt[3]{{\frac{{81}}{{56}}}}$ jest równa
A. $latex \frac{{\sqrt{3}}}{2}$
B. $latex \frac{3}{{2\sqrt[3]{{21}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }}}$
C. $latex \frac{3}{2}$
D. $latex \frac{9}{4}$