'

Pierwiastek sześcienny

Przykład 1

Pierwiastkiem stopnia trzeciego (pierwiastkiem sześciennym) z liczby [latex]a[/latex] nazywamy taką liczbę [latex]b[/latex], dla której [latex]b^3=a[/latex].

Zapis symboliczny:

[latex]\sqrt[3]{a}=b\Leftrightarrow b^3=a[/latex]

Oblicz:

a) [latex]\sqrt[3]{0};\ \ \ \sqrt[3]{1};\ \ \ \sqrt[3]{8};\ \ \ \sqrt[3]{27};\ \ \ \sqrt[3]{64}[/latex]

b) [latex]\sqrt[3]{-1};\ \ \ \sqrt[3]{-125};\ \ \ \sqrt[3]{-216}[/latex]

Przykład 2

Oblicz długość krawędzi sześcianu o objętości równej:

a) [latex]27[/latex]

b) [latex]125[/latex]

c) [latex]216000[/latex]

Pierwiastek iloczynu

[latex]\sqrt[3]{a\cdot b}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}[/latex]

Pierwiastek ilorazu

[latex]\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}[/latex]

Przykład 3

Stosując odpowiednie prawo działań na pierwiastkach, oblicz:

a) [latex]\sqrt[3]{8\cdot125}[/latex]       b) [latex]\sqrt[3]{27\cdot1000}[/latex]       c) [latex]\sqrt[3]{-64\cdot216}[/latex]       d) [latex]\sqrt[3]{125\cdot343}[/latex]       e) [latex]\sqrt[3]{-8\cdot\left(-729\right)}[/latex]       f) [latex]\sqrt[3]{64:\left(-125\right)}[/latex]       g) [latex]\sqrt[3]{\left(-8\right):27}[/latex]      
h) [latex]\sqrt[3]{\frac{1}{729}}[/latex]       i) [latex]\sqrt[3]{\frac{343}{1000}}[/latex]       j) [latex]\sqrt[3]{-\frac{125}{512}}[/latex]

Przykład 4

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka:

a) [latex]\sqrt[3]{16}[/latex]       b) [latex]\sqrt[3]{81}[/latex]       c) [latex]\sqrt[3]{135}[/latex]       d)[latex]\sqrt[3]{192}[/latex]       e) [latex]\sqrt[3]{500}[/latex]       f) [latex]\sqrt[3]{-128}[/latex]       g) [latex]\sqrt[3]{-162}[/latex]       h) [latex]\sqrt[3]{-250}[/latex]       i) [latex]\sqrt[3]{-432}[/latex]       j) [latex]\sqrt[3]{-6000}[/latex]

Przykład 5

Włącz wspólny czynnik pod znak pierwiastka:

a) [latex]3\sqrt[3]{2}[/latex]      b) [latex]2\sqrt[3]{3}[/latex]      c) [latex]5\sqrt[3]{5}[/latex]      d) [latex]4\sqrt[3]{7}[/latex]     e) [latex]10\sqrt[3]{6}[/latex]      f) [latex]6\sqrt[3]{10}[/latex]

Przykład 6

Porównaj liczby:

a) [latex]3\sqrt[3]{2}[/latex] i [latex]2\sqrt[3]{3}[/latex]

b) [latex]4\sqrt[3]{3}[/latex] i [latex]3\sqrt[3]{6}[/latex]

c) [latex]\frac{2}{3}\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}[/latex] i [latex]\frac{4}{5}\sqrt[3]{1\frac{61}{64}}[/latex]

Przykład 7

Uzasadnij poniższe równości:

a) [latex]2\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{375}[/latex]

b) [latex]\frac{\sqrt[3]{200}\cdot\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{10+\sqrt[3]{-8}}}=5\sqrt[3]{2}[/latex]

Przykład 8

Oblicz wartość wyrażenia:

a) [latex]\sqrt[3]{2000}+\sqrt[3]{-432}+\sqrt[3]{2}[/latex]

b) [latex]\sqrt[3]{375}-\sqrt[3]{-192}-\sqrt[3]{-81}[/latex]

c) [latex]2\sqrt[3]{-250}+2\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{-16}[/latex]

d) [latex]3\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-64}+\left(\sqrt[3]{11}\right)^3[/latex]

e) [latex]\sqrt[3]{-\frac{8}{125}}-\sqrt[3]{-2\frac{10}{27}}+\sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^3}[/latex]

f) [latex]\frac{\sqrt[3]{-81}}{2\sqrt[3]{3}}-\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{-3}}[/latex]

g) [latex]\sqrt[3]{24\cdot2+27\cdot9+27\cdot16}[/latex]

h) [latex]\sqrt[3]{15\cdot64+64\cdot3+9\cdot64}[/latex]

Przykład 9

Usuń niewymierność z mianownika:

a)  [latex]\frac{1}{\sqrt[3]{2}}[/latex]

b)  [latex]\frac{7}{\sqrt[3]{5}}[/latex]

c)  [latex]\frac{3}{\sqrt[3]{4}}[/latex]

d)  [latex]\frac{2}{\sqrt[3]{3}}[/latex]

e)  [latex]\frac{4}{3\sqrt[3]{2}}[/latex]

f)  [latex]\frac{6}{5\sqrt[3]{4}}[/latex]