'

Podział trójkątów, nierówność trójkąta [ROZSZERZENIE]

Definicja

Trójkąt to wielokąt mający trzy boki.

Twierdzenie

Suma kątów w dowolnym trójkącie jest równa $latex 180{}^\circ $.

Trójkąty możemy podzielić ze względu na rodzaje kątów i długości boków.

Podział trójkątów ze względu na rodzaje kątów:
– ostrokątne
– prostokątne
– rozwartokątne

Podział trójkątów ze względu na długości boków:
– różnoboczne
– równoramienne (w tym równoboczne)

Przykład 1

W trójkącie równoramiennym jeden kąt ma miarę $latex 40{}^\circ $. Oblicz pozostałe kąty tego trójkąta.

Przykład 2

Jeden kąt trójkąta ma miarę $latex 54{}^\circ $. Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest $latex 6$ razy większy od drugiego.
Oblicz miary pozostałych kątów tego trójkąta.

Przykład 3

Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku $latex 9:4:5$. Oblicz miary kątów tego trójkąta.

Przykład 4

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o $latex 50{}^\circ $. Oblicz kąty tego trójkąta.

Twierdzenie

Jeśli dwa boki trójkąta mają różne boki, to kąt leżący naprzeciw dłuższego boku jest większy.

Twierdzenie

Jeśli dwa kąty mają różne miary, to bok leżący naprzeciw większego kąta jest dłuższy.

Przykład 5

Udowodnij, że trójkąt $latex ABC$ jest rozwartokątny, jeśli $latex \left| {AC} \right|=22$ cm, $latex \left| {BC} \right|=18$ cm, $latex \left| {\sphericalangle ABC} \right|=45{}^\circ \text{ }\!\!~\!\!\text{ }$oraz sprawdź czy obwód tego trójkąta jest mniejszy od $latex 61~$cm.

Przykład 6

W trójkącie równoramiennym $latex ABC$ dane są $latex \left| {AC} \right|=\left| {BC} \right|=5$ oraz wysokość $latex \left| {CD} \right|=2$. Oblicz obwód tego trójkąta.

Twierdzenie

W dowolnym trójkącie suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku
$latex a+b>c$
$latex a+c>b$
$latex b+c>a$

Przykład 7

Czy z podanych odcinków można zbudować trójkąt?
a) $latex 4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }8,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }12$
b) $latex 3-\sqrt{3},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3+\sqrt{3}$
c) $latex 5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }7$

Przykład 8

Wyznacz wszystkie wartości parametru $latex m$, dla których boki trójkąta mają długość
a) $latex 4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ m}+3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }6-\text{m}$
b) $latex \text{m},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3\text{m},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }9$
c) $latex \text{m},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5-\text{m},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2\text{m}+4$

Przykład 9

Z odcinków o długościach: $latex 5,~2a+1,~a-1$ można zbudować trójkąt równoramienny. Wyznacz parametr $latex a$.

Przykład 10

Dwa boki trójkąta mają długość $latex 1$ cm i $latex 4$ cm. Oblicz obwód tego trójkąta, jeżeli wiadomo, że długość trzeciego boku wyraża się liczbą naturalną.

Przykład 11

Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma $latex 7$ cm, a drugi ma $latex 2$ cm. Jaką długość może mieć trzeci bok tego trójkąta?

Przykład 12

Dwa boki trójkąta różnobocznego mają długość $latex 5$ i $latex 7$. Trzeci bok leży naprzeciw najmniejszego kąta w tym trójkącie. Wyznacz długość trzeciego boku wiedząc, że wyraża się ona liczbą naturalną.

Przykład 13

Dwa boki trójkąta różnobocznego mają długość $latex 3$ i $latex 7$. Trzeci bok leży naprzeciw największego kąta w tym trójkącie. Wyznacz długość trzeciego boku wiedząc, że wyraża się ona liczbą naturalną.

Przykład 14

W trójkącie kąt przyległy do jednego kąta jest dwa razy większy od drugiego kąta tego trójkąta. Uzasadnij, że ten trójkąt jest równoramienny.

Przykład 15

W trójkącie prostokątnym $latex ABC$ przedłużono przeciwprostokątną $latex AB$ i zaznaczono na przedłużeniach punkty $latex D$ i $latex E$ tak, że $latex \left| {AD} \right|=\left| {AC} \right|$ oraz $latex \left| {BE} \right|=\left| {BC} \right|$. Wykaż, że $latex \left| {\sphericalangle DCE} \right|=135{}^\circ $.

Przykład 16

Na przeciwprostokątnej $latex AB$ trójkąta prostokątnego $latex ABC$ zaznaczono punkty $latex {{C}_{1}}$ i $latex {{C}_{2}}$ w taki sposób, że $latex \left| {A{{C}_{1}}} \right|=\left| {AC} \right|$ oraz $latex \left| {B{{C}_{2}}} \right|=\left| {BC} \right|$. Wykaż, że $latex \left| {\sphericalangle {{C}_{1}}C{{C}_{2}}} \right|=45{}^\circ $.

Przykład 17

Wykaż, że jeśli w trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta przy podstawie dzieli dany trójkąt na dwa trójkąty równoramienne, to kąty danego trójkąta są równe: $latex 36{}^\circ ,~72{}^\circ ,~72{}^\circ $.

Przykład 18

W trójkącie $latex ABC$ boki $latex AC$ i $latex BC$ są równe. Punkty $latex B,~C,~D$ są współliniowe oraz $latex DF\bot AB$. Wykaż, że trójkąt $latex CDE$ jest równoramienny.

Przykład 19

W trójkącie $latex ABC$ bok $latex AB$ jest najdłuższy. Na boku $latex AB$ odłożono odcinki $latex A{{C}_{1}}$ oraz $latex B{{C}_{2}}$ w taki sposób, że $latex \left| {A{{C}_{1}}} \right|=\left| {AC} \right|$ oraz $latex \left| {B{{C}_{2}}} \right|=\left| {BC} \right|$. Wykaż, że $latex \left| {\sphericalangle {{C}_{1}}C{{C}_{2}}} \right|=\frac{{\left| {\sphericalangle A} \right|+\left| {\sphericalangle B} \right|}}{2}$.

Przykład 20

Wewnątrz trójkąta $latex ABC$ wybrano dowolny punkt $latex S$. Uzasadnij, że $latex \left| {\sphericalangle CSB} \right|>\left| {\sphericalangle CAB} \right|$.

Przykład 21

W trójkącie $latex ABC$ prowadzimy dwusieczne kątów $latex B$ i $latex C$, które przecinają się w punkcie $latex S$. Wykaż, że trójkąt $latex CBS$ jest rozwartokątny.

Przykład 22

Udowodnij, że w każdym trójkącie jest kąt, który ma co najmniej $latex 60{}^\circ $, i kąt, który ma co najwyżej $latex 60{}^\circ $.

Przykład 23

Narysuj dowolny trójkąt $latex ABC$ i wykreśl przy dwóch jego wierzchołkach po jednym kącie zewnętrznym. Czy suma tych dwóch kątów może równać się kątowi półpełnemu? Odpowiedź uzasadnij.

Przykład 24

Dany jest kąt ostry o wierzchołku $latex O$ i punkt $latex A$ leżący na ramieniu tego kąta, $latex A\ne O$. Przez punkt $latex A$ poprowadzono dwie proste: prostą $latex k$ prostopadłą do ramienia $latex O{{A}^{\to }}$, która przecięła drugie ramię kąta w punkcie $latex B$, oraz prostą $latex m$, prostopadłą do drugiego ramienia, która przecięła to ramię w punkcie $latex C$. Dwusieczna kąta ostrego $latex BAC$ przecięła odcinek $latex BC$ w punkcie $latex D$. Wykaż, że $latex \left| {OA} \right|=\left| {OD} \right|$.

Przykład 25

Punkt $latex X$ jest dowolnym punktem leżącym wewnątrz równoległoboku $latex ABCD$. Wykaż, że $latex \left| {AX} \right|<\left| {BX} \right|+\left| {CX} \right|+\left| {DX} \right|$.

Przykład 26

Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu płaszczyzny od wierzchołków danego czworokąta jest większa od połowy obwodu tego czworokąta.