Pola trójkątów podobnych [ROZSZERZENIE]
Wstęp
Jeśli dwa trójkąty $latex {{T}_{1}}$ i $latex {{T}_{2}}$ są podobne w skali $latex k$, to
1) stosunek obwodów tych trójkątów jest równy $latex k$, czyli
$latex \frac{{O{{b}_{{{{T}_{2}}}}}}}{{O{{b}_{{{{T}_{1}}}}}}}=k$
2) stosunek pól powierzchni tych trójkątów jest równy $latex {{k}^{2}}$, czyli
$latex \frac{{{{P}_{{{{T}_{2}}}}}}}{{{{P}_{{{{T}_{1}}}}}}}={{k}^{2}}$
Przykład 1
Trójkąt $latex ABC$ ma obwód równy $latex 90$ cm, a pole $latex 216 ~\text{cm}^{2}$. Obwód trójkąta $latex {A}'{B}’C’$ podobnego do trójkąta $latex ABC$ wynosi $latex 18$ cm. Oblicz pole trójkąta $latex {A}'{B}’C’$.
Przykład 2
Trójkąt $latex ABC$ ma obwód równy $latex 99$ cm, a jego pole wynosi $latex 162~\text{cm}^{2}$. Oblicz obwód trójkąta $latex {A}'{B}’C’$ podobnego do trójkąta $latex ABC$, wiedząc, że pole trójkąta $latex {A}'{B}’C’$ jest równe $latex 18~\text{cm}^{2}$.
Przykład 3
Podstawa $latex AB$ trójkąta $latex ABC$ ma długość $latex 48$ cm. Na boku $latex AC~$zaznaczono punkty $latex K,~L$, a na boku $latex BC$ punkty $latex M,~N$, tak, że $latex AB\parallel KM$ i $latex AB\parallel LN$. Oblicz stosunek pól:
a) trójkątów $latex KMC,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }LNC,$ $latex ABC$,
b) figur $latex KMC,~LNMK,~ABNL$,
przy założeniu, że $latex \left| {KM} \right|=6$ cm i $latex \left| {LN} \right|=12$ cm.
Przykład 4
W trójkącie ostrokątnym poprowadzono trzy proste równoległe do podstawy, które podzieliły wysokość trójkąta opuszczoną na tę podstawę na trzy odcinki równej długości. Oblicz stosunek pól powstałych w wyniku tego podziału.
Przykład 5
Stosunek pól dwóch trójkątów podobnych $latex {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ i $latex ABC$ wynosi $latex \frac{{16}}{{25}}$. Wiedząc, że podstawa $latex {{A}_{1}}{{B}_{1}}$ trójkąta $latex {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ jest o $latex 6$ cm krótsza od podstawy $latex AB$ trójkąta $latex ABC$, oblicz $latex \left| {{{A}_{1}}{{B}_{1}}} \right|$ i $latex \left| {AB} \right|$.
Przykład 6
Odcinki $latex PQ$ i $latex ST$ są równoległe do podstawy $latex AB$ trójkąta $latex ABC$. Stosunek pól figur $latex PQC,~STQP$ oraz $latex ABTS$ w podanej kolejności wynosi $latex 4:5:7$. Oblicz stosunek długości odcinków $latex \left| {PQ} \right|:|ST:\left| {AB} \right|$.
Przykład 7
Wysokość $latex CD$ trójkąta, której długość wynosi $latex 10$ cm, dzieli bok $latex AB~$na dwa odcinki tak, że
$latex \left| {AD} \right|=8$ cm i $latex \left| {DB} \right|=16$ cm. W trójkącie tym poprowadzono prostą $latex PQ$ równoległa do $latex CD$, która podzieliła ten trójkąt na dwie figury o równych polach i taką, że $latex P\in BC$, $latex Q\in AB$. Oblicz długość odcinka leżącego na tej prostej, zawartego w trójkącie.
Przykład 8
W trójkącie równoramiennym $latex ABC$ podstawa ma długość $latex 20$ cm. W trójkąt ten wpisano koło, które jest styczne do ramion trójkąta
w punktach $latex P,~Q$. Wiedząc, że $latex \left| {PQ} \right|=4$ cm, oblicz:
a) pole trójkąta $latex ABC$, $latex PQC$
b) pole koła wpisanego w ten trójkąt.
Przykład 9
W trójkąt równoramienny o bokach $latex 5$ cm, $latex 5$ cm, $latex 8$ cm wpisano koło. Styczna do koła, równoległa do podstawy, odcina od trójkąta $latex ABC$ trójkąt $latex PQC$. Oblicz pole trójkąta $latex PQC$.
Przykład 10
Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, jeśli wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła ten trójkąt na trójkąty, których pola są równe $latex 81~\text{cm}^{2}$ i $latex 144~\text{cm}^{2}$.
Przykład 11
W trójkącie prostokątnym $latex ABC$ przyprostokątne $latex AB$ i $latex AC~$mają długość $latex 18$ cm i $latex 10$ cm. Na przyprostokątnej $latex AB$ zaznaczono taki punkt $latex P$, że $latex \left| {\sphericalangle APC} \right|=\left| {\sphericalangle ACB} \right|$. Oblicz pola trójkątów $latex APC$ i $latex CPB$.
Przykład 12
Na podstawie danych i rysunku oblicz długości boków trójkąta $latex PQB$.
Przykład 13
Oblicz pole trójkąta, którego środkowe mają długość $latex 5$ cm, $latex 12$ cm i $latex 13$ cm.
Przykład 14
W trójkącie prostokątnym $latex ABC$ stosunek przyprostokątnych jest równy $latex \left| {AB} \right|:\left| {AC} \right|=4:3$. Punkt $latex D$ dzieli przyprostokątną $latex AB$ na odcinki takie, że $latex \left| {DB} \right|=3\left| {AD} \right|$. Punkt $latex E$ należy do przeciwprostokątnej $latex BC$ i odcinek $latex DE$ jest prostopadły do boku $latex BC$. Oblicz, jakim procentem pola trójkąta $latex ABC~$jest pole trójkąta $latex DBE$.
Przykład 15
W trójkącie prostokątnym $latex ABC$. stosunek przyprostokątnych jest równy $latex \left| {AC} \right|:\left| {AB} \right|=5:12$. Punkt $latex D$ dzieli przeciwprostokątną $latex BC$ na odcinki, których długości pozostają w stosunku $latex \left| {CD} \right|:\left| {DB} \right|=5:8$. Wiedząc, że punkt $latex E$ należy do przyprostokątnej $latex AB$ i $latex ED\bot CB$, oblicz stosunek pola czworokąta $latex AEDC$ do pola trójkąta $latex EBD$.
Przykład 16
W trójkącie ostrokątnym równoramiennym $latex ABC$, $latex \left| {AC} \right|=\left| {BC} \right|$, poprowadzono wysokości $latex DC$ i $latex BE$. Pole trójkąta $latex ABE$ jest o $latex 44\%$ większe od pola trójkąta $latex ADC$. Wiedząc, że obwód trójkąta $latex ABC$ jest równy $latex 80$ cm, oblicz pole trójkąta $latex ABC$.
Przykład 17
W ostrokątnym trójkącie równoramiennym $latex ABC$, $latex \left| {AC} \right|=\left| {BC} \right|$, wysokość $latex CD$ przecięła się z wysokością $latex AE$ w punkcie $latex S$. Wysokość $latex AE$ dzieli ramię $latex BC$ trójkąta na odcinki $latex BE$ i $latex EC$, których długości pozostają w stosunku $latex \left| {BE} \right|:\left| {EC} \right|=1:2$.
a) Oblicz sinus kąta $latex EAB$.
b) Wykaż, że trójkąt $latex ADS$ jest podobny do trójkąta $latex SEC$.
c) Oblicz stosunek pola trójkąta $latex ADS~$do pola trójkąta $latex SEC$.
Przykład 18
Cięciwy $latex AB$ i $latex CD$ koła przecinają się pod kątem $latex 30{}^\circ $ w punkcie $latex E$. Wiedząc, że $latex \left| {AE} \right|=6$ cm, $latex \left| {ED} \right|=3$ cm, $latex \left| {EB} \right|=2$ cm, oblicz pole trójkąta $latex AEC$.
Przykład 19
W kole poprowadzono cięciwy $latex AB$ i $latex CD$, które przecięły się w punkcie $latex E$. Pole trójkąta $latex AEC$ jest o $latex 210~\text{cm}^{2}$ większe od pola trójkąta $latex EDB$. Wiedząc, że $latex \left| {AE} \right|=40$ cm, $latex \left| {ED} \right|=16$ , $latex \left| {BE} \right|=10$ cm, oblicz:
a) długość odcinka $latex CE$
b) pola trójkątów $latex AEC$ i $latex EDB$
c) miarę kąta przecięcia się cięciwy $latex AB$ z cięciwą $latex CD$
Przykład 20
W trójkąt $latex ABC$ wpisano koło, które jest styczne do boków $latex AC$ i $latex BC$ odpowiednio w punktach $latex D$ i $latex E$.
Wiedząc, że $latex \left| {AD} \right|=\left| {EB} \right|=7$cm oraz $latex \left| {DE} \right|=10,08$ cm,
a) wykaż, że trójkąt $latex ABC$ jest równoramienny
b) oblicz pole trójkąta $latex ABC$
Przykład 21
W trójkąt równoramienny $latex ABC$ wpisano koło. Następnie poprowadzono dwie proste równoległe do podstawy $latex AB$ – prostą / styczną do koła i prostą $latex k$ przechodzącą przez środek koła. Te proste podzieliły trójkąt na trzy wielokąty, których pola pozostają w stosunku
$latex 1:3:5$ (licząc od pola trójkąta). Wykaż, że trójkąt $latex ABC$ jest równoboczny.