'

Pole koła, pole wycinka koła

Wstęp

Wzór na pole koła
$latex P=\pi {{r}^{2}}$
Wzór na długość okręgu
$latex l=2\pi r$

Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch części płaszczyzny, na jakie dzielą koło dwa promienie.
Pole wycinka koła odpowiadającego kątowi środkowemu $latex \alpha $ wynosi:
$latex P=\frac{\alpha }{{360{}^\circ }}\pi {{r}^{2}}$

Długość łuku odpowiadającego kątowi środkowemu $latex \alpha $ wyraża się wzorem:
$latex l=\frac{\alpha }{{360{}^\circ }}2\pi r$

Przykład 1

Oblicz długość okręgu o promieniu równym
a) $latex 3,5$
b) $latex \frac{2}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$
c) $latex 3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$

Przykład 2

Oblicz promień okręgu, którego długość jest równa
a) $latex 6\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$
b) 10
c) $latex {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{2}}$

Przykład 3

Punkty $latex {{P}_{1}},~{{P}_{2}},~{{P}_{3}},\ldots ,~{{P}_{{10}}}$ dzielą okrąg na $latex 10$ łuków równej długości. Podaj miarę kąta środkowego opartego na łuku
a) $latex {{\text{P}}_{2}}{{\text{P}}_{3}}$
b) $latex {{\text{P}}_{2}}{{\text{P}}_{3}}{{\text{P}}_{4}}$
c) $latex {{\text{P}}_{3}}{{\text{P}}_{6}}{{\text{P}}_{9}}$
d) $latex {{\text{P}}_{5}}{{\text{P}}_{1}}{{\text{P}}_{6}}$

Przykład 4

Punkty $latex A$ i $latex B$ leżą na okręgu o środku $latex O$ i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy $latex 7:5$. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.

Przykład 5

Oblicz długość łuku okręgu o promieniu $latex 6$ wyznaczonego przez kąt $latex 150{}^\circ $.

Przykład 6

Oblicz miarę kąta $latex AOB$, jeśli $latex A,\text{ }\!\!~\!\!\text{ B}$ są punktami leżącymi na okręgu o środku $latex O$ i promieniu $latex 10$, wyznaczającymi łuk długości $latex 4\pi $.

Przykład 7

Oblicz długość łuku $latex PQ$, jeśli punkty $latex P,~Q$ leżą na okręgu o średnicy $latex 12$ cm i odcinek $latex PQ$ ma długość równą $latex 6$ cm.

Przykład 8

a) Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat
o obwodzie równym $latex 4\sqrt{2}$.
b) Oblicz pole koła opisanego na kwadracie
o boku $latex 8$.
c) Koło opisane na kwadracie ma pole równe $latex 16\pi $. Oblicz długość boku tego kwadratu.

Przykład 9

Promień koła jest równy $latex 10$ cm, a kąt wycinka tego koła ma miarę $latex 80{}^\circ $. Oblicz:
a) długość łuku tego wycinka
b) pole wycinka tego koła

Przykład 10

Pole wycinka koła jest równe $latex 40\pi $ cm2, a długość łuku tego wycinka wynosi $latex 5\pi $ cm. Oblicz długość promienia tego koła.

Przykład 11

Pole wycinka koła jest równe $latex 12\pi $ cm2, a długość łuku tego wycinka wynosi $latex 4\pi $ cm. Oblicz pole tego koła.

Przykład 12

Promień koła wpisanego w wycinek koła o kącie środkowym $latex 60{}^\circ $ ma długość $latex 4$ cm. Oblicz pole powierzchni tego wycinka.

Przykład 13

Dane jest koło o środku w punkcie $latex O$ i promieniu $latex r$. Oblicz pole odcinka tego koła (zaznaczonego na rysunku obok), wyznaczonego przez łuk długości $latex l$, jeśli $latex r=6$ oraz $latex l=5\pi $.

Przykład 14

Stosunek pola trójkąta do pola koła wpisanego w ten trójkąt jest równy $latex 3:\pi $. Wiedząc, że średnica tego koła ma długość $latex 6$ cm, oblicz obwód trójkąta.

Przykład 15

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Oblicz stosunek pola koła wpisanego w ten trójkąt do pola koła opisanego na tym trójkącie.

Przykład 16

Kąt wpisany w koło ma miarę $latex 45{}^\circ $ i jest oparty na łuku długości $latex 3\pi $ cm. Oblicz pole wycinka koła, wyznaczonego przez ten sam łuk.

Przykład 17

Wycinek koła jest wyznaczony przez kąt środkowy, zaznaczony na rysunku poniżej. W wycinek wpisano koło o danym polu $latex P$. Oblicz pole wycinka.

a) $latex P=4\pi cm^2$

b) $latex P=9\pi cm^2$

Przykład 18

W kole z jednego punktu okręgu poprowadzono dwie cięciwy o długości $latex 6$ cm każda. Wiedząc, że utworzyły one kąt $latex 60{}^\circ $, oblicz pole części koła zawartej między tymi cięciwami.

Przykład 19

Odległość środków dwóch kół o jednakowych promieniach równych $latex r$ wynosi $latex r$. Oblicz pole części wspólnej tych kół.

Przykład 20

Podstawa trójkąta równobocznego jest średnicą koła o promieniu $latex r$. Oblicz stosunek pola części koła leżącej na zewnątrz trójkąta do pola części koła leżącej wewnątrz tego trójkąta.