Pole koła, pole wycinka koła [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Wstęp
Wzór na pole koła
$latex P=\pi {{r}^{2}}$
Wzór na długość okręgu
$latex l=2\pi r$
Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch części płaszczyzny, na jakie dzielą koło dwa promienie.
Pole wycinka koła odpowiadającego kątowi środkowemu $latex \alpha $ wynosi:
$latex P=\frac{\alpha }{{360{}^\circ }}\pi {{r}^{2}}$
Długość łuku odpowiadającego kątowi środkowemu $latex \alpha $ wyraża się wzorem:
$latex l=\frac{\alpha }{{360{}^\circ }}2\pi r$
Przykład 1
Oblicz długość okręgu o promieniu równym
a) $latex 3,5$
b) $latex \frac{2}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}$
c) $latex 3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$
Przykład 2
Oblicz promień okręgu, którego długość jest równa
a) $latex 6\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$
b) 10
c) $latex {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{2}}$
Przykład 3
Punkty $latex {{P}_{1}},~{{P}_{2}},~{{P}_{3}},\ldots ,~{{P}_{{10}}}$ dzielą okrąg na $latex 10$ łuków równej długości. Podaj miarę kąta środkowego opartego na łuku
a) $latex {{\text{P}}_{2}}{{\text{P}}_{3}}$
b) $latex {{\text{P}}_{2}}{{\text{P}}_{3}}{{\text{P}}_{4}}$
c) $latex {{\text{P}}_{3}}{{\text{P}}_{6}}{{\text{P}}_{9}}$
d) $latex {{\text{P}}_{5}}{{\text{P}}_{1}}{{\text{P}}_{6}}$
Przykład 4
Punkty $latex A$ i $latex B$ leżą na okręgu o środku $latex O$ i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy $latex 7:5$. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.
Przykład 5
Oblicz długość łuku okręgu o promieniu $latex 6$ wyznaczonego przez kąt $latex 150{}^\circ $.
Przykład 6
Oblicz miarę kąta $latex AOB$, jeśli $latex A,\text{ }\!\!~\!\!\text{ B}$ są punktami leżącymi na okręgu o środku $latex O$ i promieniu $latex 10$, wyznaczającymi łuk długości $latex 4\pi $.
Przykład 7
Oblicz długość łuku $latex PQ$, jeśli punkty $latex P,~Q$ leżą na okręgu o średnicy $latex 12$ cm i odcinek $latex PQ$ ma długość równą $latex 6$ cm.
Przykład 8
a) Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat
o obwodzie równym $latex 4\sqrt{2}$.
b) Oblicz pole koła opisanego na kwadracie
o boku $latex 8$.
c) Koło opisane na kwadracie ma pole równe $latex 16\pi $. Oblicz długość boku tego kwadratu.
Przykład 9
Promień koła jest równy $latex 10$ cm, a kąt wycinka tego koła ma miarę $latex 80{}^\circ $. Oblicz:
a) długość łuku tego wycinka
b) pole wycinka tego koła
Przykład 10
Pole wycinka koła jest równe $latex 40\pi $ cm2, a długość łuku tego wycinka wynosi $latex 5\pi $ cm. Oblicz długość promienia tego koła.
Przykład 11
Pole wycinka koła jest równe $latex 12\pi $ cm2, a długość łuku tego wycinka wynosi $latex 4\pi $ cm. Oblicz pole tego koła.
Przykład 12
Promień koła wpisanego w wycinek koła o kącie środkowym $latex 60{}^\circ $ ma długość $latex 4$ cm. Oblicz pole powierzchni tego wycinka.
Przykład 13
Dane jest koło o środku w punkcie $latex O$ i promieniu $latex r$. Oblicz pole odcinka tego koła (zaznaczonego na rysunku obok), wyznaczonego przez łuk długości $latex l$, jeśli $latex r=6$ oraz $latex l=5\pi $.
Przykład 14
Stosunek pola trójkąta do pola koła wpisanego w ten trójkąt jest równy $latex 3:\pi $. Wiedząc, że średnica tego koła ma długość $latex 6$ cm, oblicz obwód trójkąta.
Przykład 15
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Oblicz stosunek pola koła wpisanego w ten trójkąt do pola koła opisanego na tym trójkącie.
Przykład 16
Kąt wpisany w koło ma miarę $latex 45{}^\circ $ i jest oparty na łuku długości $latex 3\pi $ cm. Oblicz pole wycinka koła, wyznaczonego przez ten sam łuk.
Przykład 17
Wycinek koła jest wyznaczony przez kąt środkowy, zaznaczony na rysunku poniżej. W wycinek wpisano koło o danym polu $latex P$. Oblicz pole wycinka.
a) $latex P=4\pi cm^2$
b) $latex P=9\pi cm^2$
Przykład 18
W kole z jednego punktu okręgu poprowadzono dwie cięciwy o długości $latex 6$ cm każda. Wiedząc, że utworzyły one kąt $latex 60{}^\circ $, oblicz pole części koła zawartej między tymi cięciwami.
Przykład 19
Odległość środków dwóch kół o jednakowych promieniach równych $latex r$ wynosi $latex r$. Oblicz pole części wspólnej tych kół.
Przykład 20
Podstawa trójkąta równobocznego jest średnicą koła o promieniu $latex r$. Oblicz stosunek pola części koła leżącej na zewnątrz trójkąta do pola części koła leżącej wewnątrz tego trójkąta.