'

Pole trójkąta cz. 2

Wstęp

Wzory na pole trójkąta
$latex P=\frac{{abc}}{{4R}}$
$latex P=p\cdot r$
$latex P=\sqrt{{p\left( {p-a} \right)\left( {p-b} \right)\left( {p-c} \right)}}$
gdzie $latex p=\frac{{a+b+c}}{2}$

Przykład 1

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość $latex 16$ cm a ramię $latex 10$ cm. Oblicz:
a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie
b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt
c) odległość środka okręgu wpisanego w ten trójkąta od wierzchołków trójkąta

Przykład 2

Pole trójkąta wynosi $latex 168 \text{~cm}^2$, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $latex 6$ cm. Widząc, że długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi, oblicz długości wysokości tego trójkąta.

Przykład 3

W trójkąt równoramienny rozwartokątny o kącie przy podstawie $latex 30{}^\circ $ wpisano okrąg o promieniu $latex 4$. Oblicz długości boków trójkąta.

Przykład 4

Boki trójkąta $latex ABC$ mają długość: $latex \left| {AB} \right|=8$ cm, $latex \left| {BC} \right|=6$ cm, $latex \left| {AC} \right|=4$ cm. Oblicz:
a) pole tego trójkąta
b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt
c) promień okręgu opisanego na tym trójkącie

Przykład 5

W trójkącie równoramiennym o polu $latex 192 \text{~cm}^2$ stosunek długości ramienia do długości wysokości opuszczonej na podstawę jest równy $latex 4:3$. Oblicz:
a) obwód tego trójkąta,
b) wysokości tego trójkąta
c) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt
d) promień okręgu opisanego na tym trójkącie

Przykład 6

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość $latex 28$ cm, a pole tego trójkąta wynosi $latex 672 \text{~cm}^2$. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $latex 10\frac{1}{2}$ cm. Oblicz:
a) długość ramienia tego trójkąta
b) sinus kąta między ramionami

Przykład 7

Dwa boki trójkąta mają długość $latex 17$ cm i $latex 10$ cm, a jego pole jest równe $latex 84 \text{~cm}^2$. Wiedząc, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $latex 3\frac{1}{2}$ cm, oblicz:
a) obwód tego trójkąta
b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie

Przykład 8

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość $latex 50$ cm. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $latex 6$ cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Przykład 9

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy $latex 34$ cm, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt $latex -12$ cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Przykład 10

W trójkącie dwa boki trójkąta mają długość $latex 2$ cm i $latex 28$ cm, a kąt między nimi jest równy $latex 60{}^\circ.$ Oblicz
a) pole trójkąta
b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie
c) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt