'

Pole trójkąta – rozwiązywanie zadań

Przykład 1

Pole trójkąta prostokątnego jest równe $latex 180$ $latex \text{c}{{\text{m}}^{2}}$, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi $latex 4$cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Przykład 2

Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt prostokątny jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie dzielącym ją na dwa odcinki, których iloczyn długości jest równy polu tego trójkąta.

Przykład 3

W trójkącie równoramiennym ramię jest dwa razy dłuższe od podstawy, a suma promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt i promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa $latex 11$ cm. Oblicz długość podstawy trójkąta.

Zadanie Maturalne 1

Zadanie 4. (matura, czerwiec 2011)

Dany jest trójkąt ostrokątny $latex ABC$, w którym $latex \left| {AC} \right|=5$ i $latex \left| {AB} \right|=8$. Pole trójkąta jest równe $latex 10\sqrt{3}$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie Maturalne 2

Zadanie 5. (matura, maj 2013)

Dany jest trójkąt $latex ABC$, w którym $latex \left| {AC} \right|=17$ i $latex \left| {BC} \right|=10$. Na boku $latex AB$ leży punkt $latex D$ taki, że $latex \left| {AD} \right|:\left| {DB} \right|=3:4$ oraz $latex \left| {DC} \right|=10$. Oblicz pole trójkąta $latex ABC$.

Zadanie Maturalne 3

Zadanie 6. (matura, maj 2015)

Na boku $latex AB~$trójkąta równobocznego $latex ABC~$wybrano punkt $latex D$ taki, że $latex \left| {AD} \right|:\left| {DB} \right|=2:3$. Oblicz tangens kąta $latex ACD$.

Zadanie Maturalne 4

Zadanie 7. (matura, maj 2017)

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa $latex 36$, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $latex 10$. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Przykład 8

Podstawą trójkąta równoramiennego $latex ABC~$jest bok $latex AB$. Środkowe $latex AL$ i $latex BK$ przecinają się w punkcie $latex S$ pod kątem $latex 60{}^\circ $. Wiadomo, że pole trójkąta $latex ABS$ jest równe $latex \sqrt{3}.$ Oblicz długość boku AB trójkąta $latex ABC$. Czy kąt $latex ACB$ jest równy $latex 30{}^\circ $? Odpowiedź uzasadnij.

Przykład 9

Podstawą trójkąta równoramiennego $latex ABC~$jest bok $latex AB$. Środkowe $latex AL$ i $latex BK$ przecinają się w punkcie $latex S$ pod kątem $latex 60{}^\circ $. Wiadomo, że pole trójkąta $latex ABS$ jest równe $latex \sqrt{3}.$ Oblicz długość boku AB trójkąta $latex ABC$. Czy kąt $latex ACB$ jest równy $latex 30{}^\circ $? Odpowiedź uzasadnij.

Przykład 10

W trójkącie poprowadzono środkowe, które podzieliły dany trójkąt na sześć mniejszych trójkątów. Wykaż, że pola powstałych trójkątów są równe.

Przykład 11

Dany jest trójkąt prostokątny $latex ABC$, w którym $latex \left| {\sphericalangle BAC} \right|=90{}^\circ $ oraz $latex \left| {AC} \right|=12$ cm. Na boku $latex AB$ tego trójkąta zaznaczono punkt $latex E$ w taki sposób, że $latex \left| {CE} \right|=\left| {EB} \right|$. Wiedząc, że pole trójkąta $latex ABC$ jest równe $latex 108$ cm2, oblicz pole trójkąta $latex BCE$ wysokość trójkąta $latex BCE$ poprowadzoną z punktu $latex E$

Przykład 12

Wykaż, że istnieje dokładnie jedna liczba naturalna taka, że trójkąt o bokach $latex n,~n+1,~\text{ }\!\!~\!\!\text{ }n+2$ jest rozwartokątny.