Pole trójkąta – rozwiązywanie zadań [ROZSZERZENIE]
Przykład 1
Pole trójkąta prostokątnego jest równe $latex 180$ $latex \text{c}{{\text{m}}^{2}}$, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi $latex 4$cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Przykład 2
Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt prostokątny jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie dzielącym ją na dwa odcinki, których iloczyn długości jest równy polu tego trójkąta.
Przykład 3
W trójkącie równoramiennym ramię jest dwa razy dłuższe od podstawy, a suma promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt i promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa $latex 11$ cm. Oblicz długość podstawy trójkąta.
Zadanie Maturalne 1
Zadanie 4. (matura, czerwiec 2011)
Dany jest trójkąt ostrokątny $latex ABC$, w którym $latex \left| {AC} \right|=5$ i $latex \left| {AB} \right|=8$. Pole trójkąta jest równe $latex 10\sqrt{3}$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie Maturalne 2
Zadanie 5. (matura, maj 2013)
Dany jest trójkąt $latex ABC$, w którym $latex \left| {AC} \right|=17$ i $latex \left| {BC} \right|=10$. Na boku $latex AB$ leży punkt $latex D$ taki, że $latex \left| {AD} \right|:\left| {DB} \right|=3:4$ oraz $latex \left| {DC} \right|=10$. Oblicz pole trójkąta $latex ABC$.
Zadanie Maturalne 3
Zadanie 6. (matura, maj 2015)
Na boku $latex AB~$trójkąta równobocznego $latex ABC~$wybrano punkt $latex D$ taki, że $latex \left| {AD} \right|:\left| {DB} \right|=2:3$. Oblicz tangens kąta $latex ACD$.
Zadanie Maturalne 4
Zadanie 7. (matura, maj 2017)
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa $latex 36$, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $latex 10$. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Przykład 8
Podstawą trójkąta równoramiennego $latex ABC~$jest bok $latex AB$. Środkowe $latex AL$ i $latex BK$ przecinają się w punkcie $latex S$ pod kątem $latex 60{}^\circ $. Wiadomo, że pole trójkąta $latex ABS$ jest równe $latex \sqrt{3}.$ Oblicz długość boku AB trójkąta $latex ABC$. Czy kąt $latex ACB$ jest równy $latex 30{}^\circ $? Odpowiedź uzasadnij.
Przykład 9
Podstawą trójkąta równoramiennego $latex ABC~$jest bok $latex AB$. Środkowe $latex AL$ i $latex BK$ przecinają się w punkcie $latex S$ pod kątem $latex 60{}^\circ $. Wiadomo, że pole trójkąta $latex ABS$ jest równe $latex \sqrt{3}.$ Oblicz długość boku AB trójkąta $latex ABC$. Czy kąt $latex ACB$ jest równy $latex 30{}^\circ $? Odpowiedź uzasadnij.
Przykład 10
W trójkącie poprowadzono środkowe, które podzieliły dany trójkąt na sześć mniejszych trójkątów. Wykaż, że pola powstałych trójkątów są równe.
Przykład 11
Dany jest trójkąt prostokątny $latex ABC$, w którym $latex \left| {\sphericalangle BAC} \right|=90{}^\circ $ oraz $latex \left| {AC} \right|=12$ cm. Na boku $latex AB$ tego trójkąta zaznaczono punkt $latex E$ w taki sposób, że $latex \left| {CE} \right|=\left| {EB} \right|$. Wiedząc, że pole trójkąta $latex ABC$ jest równe $latex 108$ cm2, oblicz pole trójkąta $latex BCE$ wysokość trójkąta $latex BCE$ poprowadzoną z punktu $latex E$
Przykład 12
Wykaż, że istnieje dokładnie jedna liczba naturalna taka, że trójkąt o bokach $latex n,~n+1,~\text{ }\!\!~\!\!\text{ }n+2$ jest rozwartokątny.