'

Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej cz. 1 [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]

Wstęp

Wzór $latex y=a{{\left( {x-p} \right)}^{2}}+q$, gdzie $latex a\ne 0$ nazywamy wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.

Przykład 1

Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\left( {\text{x}-3} \right)}^{2}}+7$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\left( {\text{x}+3} \right)}^{2}}-5$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-3{{\left( {\text{x}-1} \right)}^{2}}+7$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{2}{{\left( {\text{x}+4} \right)}^{2}}+2$

Przykład 2

Przedstaw funkcję kwadratową w postaci kanonicznej korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}+2\text{x}+3$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-6\text{x}+5$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\text{x}}^{2}}+8\text{x}-1$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{2}{{\text{x}}^{2}}+\text{x}-2$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=5{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}-1$

Twierdzenie

Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej $latex y=a{{x}^{2}}+bx+c$, gdzie $latex a\ne 0$, można przekształcić do postaci kanonicznej
$latex y=a{{\left( {x-p} \right)}^{2}}+q$

Wówczas:
$latex p=-\frac{b}{{2a}}$
$latex q=\frac{\Delta }{4a}$
$latex \Delta = b^2-4ac$

Przykład 3

Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego:
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-12\text{x}+21$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-17$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}+4$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-3{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}-8$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=0,5{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}$
f) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{4}{{\text{x}}^{2}}+\frac{3}{2}\text{x}+2\frac{1}{4}$

Przykład 4

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu:
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}+2\text{x}+3$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-2{{\text{x}}^{2}}+5\text{x}-7$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}-8$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-\sqrt{2}{{\text{x}}^{2}}+4\sqrt{2}\text{x}-1$

Przykład 5

Podaj współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $latex f$, a następnie przedstaw tę funkcję w postaci kanonicznej:
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-2{{\text{x}}^{2}}-2\text{x}-41$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=3{{\text{x}}^{2}}-18\text{x}+29$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-4{{\text{x}}^{2}}+7\text{x}+14$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-3{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}+6$

Przypomnienie

$latex y=a{{\left( {x-p} \right)}^{2}}+q$
$latex p=-\frac{b}{{2a}}$

Przykład 6

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej odczytaj:
a) współrzędne wierzchołka
b) równanie osi symetrii
c) maksymalne przedziały monotoniczności
d) zbiór wartości tej funkcji
I. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\left( {\text{x}-1} \right)}^{2}}+2$
II. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=3-{{\text{x}}^{2}}$
III. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{2}{{\left( {\text{x}+3} \right)}^{2}}-1$

Przykład 7

Na podstawie wykresu funkcji $latex f$ napisz równanie osi symetrii tej paraboli, a następnie wyznacz współrzędne punktów $latex A$ i $latex B$, które należą do paraboli i są symetryczne odpowiednio do danych punktów $latex P$ i $latex Q$ względem osi symetrii.

a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{2}{{\text{x}}^{2}}-3$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\left( {\text{x}+2} \right)}^{2}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{2}{{\left( {\text{x}-3} \right)}^{2}}-1$

Przykład 8

Punkty $latex P$ i $latex Q$ należą do paraboli, będącej wykresem pewnej funkcji kwadratowej. Wyznacz równanie osi symetrii tej paraboli
a) $latex \text{P}\left( {0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right)$, $latex ~~~~\text{Q}\left( {10,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right)$
b) $latex \text{P}\left( {-3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5} \right)$, $latex ~~~~\text{Q}\left( {13,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5} \right)$
c) $latex \text{P}\left( {-8,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0} \right)$, $latex ~~~~\text{Q}\left( {6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0} \right)$

Przykład 9

Dany jest wierzchołek $latex W$ paraboli będącej wykresem pewnej funkcji kwadratowej oraz punkt $latex A$ należący do tego wykresu. Wyznacz współrzędne punktu $latex B$, który należy do tego wykresu i jest symetryczny do punktu $latex A$ względem osi symetrii tej paraboli
a) $latex \text{W}\left( {2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0} \right)$, $latex ~~~~\text{A}\left( {-6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-40} \right)$
b) $latex \text{W}\left( {-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3} \right)$, $latex ~~~~\text{A}\left( {-7,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-1} \right)$
c) $latex \text{W}\left( {5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }12} \right)$, $latex ~~~~\text{A}\left( {8,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-\sqrt{2}} \right)$

Przykład 10

Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej $latex f\left( x \right)={{\text{x}}^{2}}-4\text{x}$, wyznacz jej miejsca zerowe oraz rozwiąż nierówność $latex f\left( x \right)>0$.

Przykład 11

Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej $latex f$ w postaci kanonicznej podaj:

a) współrzędne wierzchołka
b) równanie osi symetrii tej paraboli
c) zbiór wartości funkcji $latex f$
d) maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $latex f$

I. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\left( {\text{x}+3} \right)}^{2}}+5$
II. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\left( {\text{x}+1} \right)}^{2}}-4$
III. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=7{{\left( {\text{x}-4} \right)}^{2}}$
IV. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-6{{\text{x}}^{2}}-2$
V. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-{{\left( {\text{x}-8} \right)}^{2}}$
VI. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=16-{{\left( {\text{x}+5} \right)}^{2}}$

Przykład 12

Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-3$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-{{\left( {\text{x}+2} \right)}^{2}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\left( {\text{x}-1} \right)}^{2}}+2$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-{{\left( {\text{x}+3} \right)}^{2}}-1$