'

Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej cz. 2

Wstęp

Przykład 1

Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci kanonicznej.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\text{x}}^{2}}+5\text{x}-3$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-2{{\text{x}}^{2}}+8\text{x}+5$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-3{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}+2$

Przykład 2

Wyznacz współczynnik $latex \text{b}$ funkcji kwadratowej $latex \text{f}$, jeśli prosta $latex \text{k}$ jest osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=3{{\text{x}}^{2}}+\text{bx}+1,\text{ }\!\!~\!\!~~~~\text{ k}:\text{x}=\frac{1}{2}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\text{x}}^{2}}+\text{bx}+1,\text{ }\!\!~\!\!~~~~\text{ k}:\text{x}=-6$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-3{{\text{x}}^{2}}+\text{bx}+12,\text{ }\!\!~\!\!~~~~\text{ k}:\text{x}=4$

Przykład 3

Wyznacz wzór funkcji w postaci ogólnej i kanonicznej, jeśli do paraboli będącej jej wykresem należy punkt $latex \text{A}$, a wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $latex \text{W}$.
a) $latex \text{A}\left( {1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right),\text{ }\!\!~\!\!~~~~\text{ W}\left( {-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0} \right)$
b) $latex \text{A}\left( {-3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }7} \right),\text{ }\!\!~\!\!~~~~\text{ W}\left( {1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5} \right)$
c) $latex \text{A}\left( {-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }6} \right),\text{ }\!\!~\!\!~~~~\text{ W}\left( {3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4} \right)$

Przykład 4

Oblicz wartości współczynników $latex b$ i $latex c$ funkcji kwadratowej, dla których punkt $latex W$ jest wierzchołkiem paraboli, będącej jej wykresem.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=3{{\text{x}}^{2}}+\text{bx}+\text{c},\text{ }\!\!~\!\!~~~~\text{ W}\left( {-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }7} \right)$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\text{x}}^{2}}+\text{bx}+\text{c},\text{ }\!\!~\!\!~~~~\text{ W}\left( {-1, -2} \right)$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\sqrt{3}{{\text{x}}^{2}}+\text{bx}+\text{c},\text{ }\!\!~\!\!~~~~\text{ W}\left( {2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5} \right)$

Przykład 5

Wyznacz wartość współczynnika $latex c$, dla której podany przedział jest zbiorem wartości funkcji $latex f\left( x \right)=2{{x}^{2}}+4x+c$.
a) $latex \text{ZW}=\langle 0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty )$
b) $latex \text{ZW}=\langle -3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty )$

Przykład 6

Wyznacz wartości $latex b$ i $latex c$, dla których punkty $latex A$ i $latex B$ należą do wykresu funkcji $latex f$, a następnie podaj postać kanoniczną tej funkcji.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}+\text{bx}+\text{c},$ $latex ~~~~\text{A}\left( {1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ B}\left( {2,7} \right)$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=3{{\text{x}}^{2}}+\text{bx}+\text{c},$ $latex ~~~~\text{A}\left( {-1, -2} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ B}\left( {2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }19} \right)$