'

Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej – Pazdro – dodatek

Wstęp

Przykład 1

Sprawdź, które z podanych obok wzoru funkcji $latex f\left( x \right)$ liczb są jej miejscami zerowymi.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}+\text{x}+1$, $latex ~~~~-\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{2}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+2,$$latex ~~~~-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=6{{\text{x}}^{2}}-5\text{x}+1$, $latex ~~~~\frac{1}{2},\frac{1}{3}$

Przykład 2

Wyznacz miejsce zerowe funkcji kwadratowej $latex f$.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-6\text{x}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-2{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-\frac{1}{3}{{\text{x}}^{2}}+\frac{2}{3}\text{x}$

Przykład 3

Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej $latex f$.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=25-4{{\text{x}}^{2}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-\frac{1}{2}{{\text{x}}^{2}}+6$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-36{{\text{x}}^{2}}-1$

Przykład 4

Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej $latex f$.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+4$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=25{{\text{x}}^{2}}-10\text{x}+1$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-\frac{2}{3}{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}-6$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-\frac{1}{2}{{\text{x}}^{2}}+\text{x}-\frac{1}{2}$

Przykład 5

Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\left( {\text{x}+7} \right)}^{2}}-25$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-3{{\left( {\text{x}-1} \right)}^{2}}+12$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\left( {\text{x}+3} \right)}^{2}}+7$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=4{{\left( {\text{x}+3} \right)}^{2}}-16$

Przykład 6

Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej $latex f$, doprowadzając wzór tej funkcji do postaci kanonicznej.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}+8\text{x}-20$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-8\text{x}+12$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=6{{\text{x}}^{2}}-5\text{x}+1$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=4{{\text{x}}^{2}}+9\text{x}+5$

Przykład 7

Dany jest wzór funkcji kwadratowej $latex f$. Wyznacz:
a) współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji
b) miejsca zerowej tej funkcji (o ile istnieją)
c) punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $latex OY$ oraz współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $latex f$.

Na podstawie tych obliczeń naszkicuj wykres tej funkcji.
I. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-{{\left( {\text{x}+4} \right)}^{2}}+4$
II. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\left( {\text{x}-2} \right)}^{2}}-8$
III. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-2\text{x}$
IV. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{2}{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}$
V. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-4\text{x}+3$
VI. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-\frac{1}{3}{{\text{x}}^{2}}+\frac{2}{3}\text{x}+1$

Przykład 8

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, jeśli mamy dane jej miejsca zerowe i zbiór wartości.
a) $latex {{\text{x}}_{1}}=-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{x}_{2}}=1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ ZW}=\langle -1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty )$
b) $latex {{\text{x}}_{1}}=-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{x}}_{2}}=3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ ZW}=\langle -2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty )$
c) $latex {{\text{x}}_{1}}=1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{x}}_{2}}=3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ ZW}=(-\infty ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1\rangle $
d) $latex {{\text{x}}_{1}}={{\text{x}}_{2}}=-3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ ZW}=(-\infty ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0\rangle $

Przykład 9

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, mając dane współrzędne wierzchołka W oraz jedno z jej miejsc zerowych.
a) $latex \text{W}\left( {0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{x}}_{1}}=-2$
b) $latex \text{W}\left( {1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-4} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{x}}_{1}}=-1$
c) $latex \text{W}\left( {-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-8} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{x}}_{1}}=3$