Potęga o wykładniku całkowitym i naturalnym [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Definicja 1
Potęgą o wykładniku naturalnym $latex n,~~n>0$ i podstawie $latex a$, gdzie $latex a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, nazywamy iloczyn $latex n$ czynników równych liczbie $latex a$.
$latex {{a}^{1}}=a$, dla $latex n>1.$
Przyjmujemy również, że:
$latex {{a}^{0}}=1,~dla~a\ne 0$
Przykład 1
Oblicz:
a) $latex {{0}^{5}}$
b) $latex {{\left( {-3} \right)}^{2}}$
c) $latex {{\left( {-17} \right)}^{0}}$
d) $latex {{4,3}^{1}}$
e) $latex {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{3}}$
f) $latex {{\left( {-\frac{1}{5}} \right)}^{4}}$
Definicja 2
Dla dowolnej liczby naturalnej $latex n\ge 1$ i dla liczby $latex a\ne 0$ przyjmujemy, że $latex {{a}^{{-n}}}=\frac{1}{{{{a}^{n}}}}$.
Przykład 2
Oblicz:
a) $latex {{2}^{{-1}}}$
b) $latex {{2}^{{-3}}}$
c) $latex {{\left( {-\frac{1}{2}} \right)}^{{-2}}}$
d) $latex {{3}^{{-2}}}$
e) $latex {{\left( {-3} \right)}^{{-2}}}$
f) $latex {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{{-2}}}$
g) $latex {{\left( {1\frac{1}{2}} \right)}^{{-3}}}$
h) $latex {{\left( {-0,2} \right)}^{{-3}}}$
i) $latex {{\left( {-\frac{4}{3}} \right)}^{{-2}}}$
j) $latex {{\left( {-\frac{4}{3}} \right)}^{{-3}}}~$
k) $latex {{\left( {\pi -3} \right)}^{0}}$
l) $latex {{\left( {~1\frac{1}{4}} \right)}^{{-2}}}$
Prawa działań na potęgach
Niech $latex m,n\in Z$ oraz $latex a,~b\in R-\left\{ 0 \right\}$.
• $latex {{a}^{m}}\cdot {{a}^{n}}={{a}^{{m+n}}}$
• $latex \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{a}^{n}}}}={{a}^{{m-n}}}$
• $latex {{\left( {{{a}^{m}}} \right)}^{n}}={{a}^{{m\cdot n}}}$
• $latex {{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}={{\left( {a\cdot b} \right)}^{n}}$
• $latex \frac{{{{a}^{n}}}}{{{{b}^{n}}}}={{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{n}}$
Przykład 3
Oblicz, stosując prawa działań na potęgach:
a) $latex {{4}^{{-2}}}\cdot {{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)}^{{-2}}}$
b) $latex {{\left( {5\frac{1}{3}} \right)}^{{-3}}}\cdot {{\left( {0,75} \right)}^{{-3}}}$
c) $latex {{\left( {1\frac{5}{{11}}} \right)}^{{-2}}}:{{\left( {\frac{4}{{11}}} \right)}^{{-2}}}$
d) $latex {{\left( {0,2} \right)}^{{-2}}}:{{\left( {0,5} \right)}^{{-2}}}$
e) $latex {{4}^{{-4}}}\cdot {{4}^{2}}$
f) $latex {{\left( {1\frac{2}{3}} \right)}^{{10}}}\cdot {{\left( {1\frac{2}{3}} \right)}^{{-8}}}$
g) $latex {{5}^{{-6}}}:{{5}^{{-3}}}$
h) $latex {{\left( {4,2} \right)}^{8}}:{{\left( {4,2} \right)}^{6}}$
i) $latex {{\left( {{{5}^{{-1}}}} \right)}^{{-3}}}$
j) $latex {{\left[ {{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}}^{{-2}}}} \right]}^{2}}$
k) $latex {{\left( {{{4}^{{-5}}}} \right)}^{{-2}}}:{{4}^{9}}$
l) $latex {{\left[ {{{{\left( {3,4} \right)}}^{{-5}}}} \right]}^{{-4}}}\cdot {{\left( {3,4} \right)}^{{-19}}}\text{.}$
Przykład 4
Przedstaw liczbę w postaci potęgi liczby $latex 7$.
a) $latex {{49}^{2}}\cdot {{\left( {\frac{1}{7}} \right)}^{{-3}}}$
b) $latex {{\left( {\frac{1}{7}} \right)}^{{-4}}}\cdot {{343}^{{-3}}}$
c) $latex {{\left( {\frac{1}{7}} \right)}^{{-2}}}\cdot {{7}^{5}}:{{7}^{4}}$
d) $latex {{\left( {\frac{1}{{49}}} \right)}^{4}}:{{\left( {{{7}^{3}}} \right)}^{{-2}}}\cdot {{7}^{4}}$
Przykład 5
Podaj konieczne założenia i uprość wyrażenie.
a) ($latex {{x}^{3}}\cdot {{x}^{2}}):{{x}^{5}}$
b) $latex \left( {{{x}^{5}}:{{x}^{3}}} \right):{{x}^{{-2}}}$
c) $latex {{\left( {x\cdot {{x}^{{-2}}}} \right)}^{3}}:{{x}^{{-1}}}$
d) $latex \frac{{{{{\left( {{{x}^{{-4}}}~\cdot ~x} \right)}}^{{-2}}}:~{{x}^{3}}}}{{{{x}^{{10~}}}\cdot ~{{x}^{{-6}}}}}$
e) $latex {{\left( {{{x}^{3}}{{y}^{2}}} \right)}^{{-1}}}\cdot {{x}^{4}}$
Przykład 6
Oblicz:
a) $latex \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{{{{3}^{{2019}}}-{{3}^{{2018}}}}}{{{{9}^{{1009}}}}}$
b) $latex \frac{{{{2}^{{-2}}}+{{7}^{0}}}}{{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}}^{{-2}}}-5\cdot {{{\left( {-2} \right)}}^{{-2}}}+{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}}^{{-2}}}}}$
c) $latex {{\left( {{{{\left( {2,7} \right)}}^{{-3}}}:{{{\left( {0,9} \right)}}^{{-3}}}} \right)}^{2}}:{{3}^{{-7}}}$
d) $latex \frac{{{{{\left( {{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}}^{{-1}}}-{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}}^{{-1}}}} \right)}}^{{-2}}}}}{{{{{\left( {\frac{3}{8}} \right)}}^{{-1}}}-{{{\left( {0,6} \right)}}^{{-1}}}}}$
Przykład 7
Oblicz:
a) $latex {{\left( {{{{\left( {{{2}^{{-1}}}+{{2}^{{-1}}}} \right)}}^{{-1}}}+{{2}^{{-1}}}} \right)}^{{-1}}}$
b) $latex {{\left[ {{{{\left( {{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}}^{{-1}}}+{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}}^{{-1}}}} \right)}}^{{-1}}}+{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}}^{{-1}}}} \right]}^{{-1}}}$
c) $latex \frac{{{{{\left[ {{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}}^{0}}-5\cdot {{{\left( {0,3} \right)}}^{2}}\cdot {{{\left( {0,5} \right)}}^{{-1}}}} \right]}}^{2}}}}{{{{{\left[ {{{{\left( {3\frac{1}{2}} \right)}}^{2}}:{{7}^{2}}} \right]}}^{2}}}}$
d) $latex {{\left( {\frac{{{{{\left( {\sqrt{2}} \right)}}^{{-2}}}}}{{1-{{{\left( {\sqrt{2}} \right)}}^{{-2}}}}}+\frac{{{{{\left( {\sqrt{3}} \right)}}^{{-2}}}}}{{1-{{{\left( {\sqrt{3}} \right)}}^{{-2}}}}}} \right)}^{{-2}}}$
Zadanie Maturalne 1
Zadanie 1. [maj 2010]
Liczba $latex {{\left( {\frac{{{{2}^{{-2}}}\cdot {{3}^{{-1}}}}}{{{{2}^{{-1}}}\cdot {{3}^{{-2}}}}}} \right)}^{0}}$ jest równa
A. $latex 1$
B. $latex 4$
C. $latex 9$
D. $latex 36$
Zadanie Maturalne 2
Zadanie 2. [czerwiec 2011]
Potęga $latex {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{{-5}}}$ (gdzie $latex a$ i $latex b$ są różne od zera) jest równa
A. $latex -5\cdot \frac{a}{b}$
B. $latex {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^{5}}$
C. $latex \frac{{{{b}^{5}}}}{a}$
D. $latex -{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{5}}$
Zadanie Maturalne 3
Zadanie 3. [maj 2014]
Liczba $latex {{\left( {\frac{1}{{{{{\left( {\sqrt[3]{{729+\sqrt[4]{{256}}+2}}} \right)}}^{0}}}}} \right)}^{{-2}}}$ jest równa
A. $latex \frac{1}{{225}}$
B. $latex \frac{1}{{15}}$
C. $latex 1$
D. $latex 15$
Zadanie Maturalne 4
Zadanie 4. [sierpień 2014]
Liczba $latex \frac{1}{2}\cdot {{2}^{{2014}}}$ jest równa
A. $latex {{2}^{{2013}}}$
B. $latex {{2}^{{2012}}}$
C. $latex {{2}^{{1007}}}$
D. $latex {{1}^{{2014}}}$