'

Potęga o wykładniku wymiernym. Prawa działań na potęgach [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]

Definicja 1

Dla dowolnej liczby $latex a\ge 0\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$i liczby naturalnej $latex n>1$ i przyjmujemy, że
$latex {{a}^{{\frac{1}{n}}}}=\sqrt[n]{a}$.

Przykład 1

Oblicz:
a) $latex {{36}^{{\frac{1}{2}}}}$
b) $latex {{64}^{{\frac{1}{3}}}}$
c) $latex {{625}^{{\frac{1}{4}}}}$

Definicja 2

Dla dowolnej liczby $latex a>0,$ liczby naturalnej $latex n>1$ oraz liczby całkowitej $latex m$ przyjmujemy, że: $latex {{a}^{{\frac{m}{n}}}}={{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)}^{m}}.$

Przykład 2

Oblicz:
a) $latex {{8}^{{\frac{2}{3}}}}$
b) $latex {{4}^{{\frac{3}{2}}}}$
c) $latex {{25}^{{-\frac{3}{2}}}}$
d) $latex {{81}^{{-0,75}}}$
e) $latex {{32}^{{\frac{4}{5}}}}$
f) $latex {{\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)}^{{-1,5}}}$

Własność

$latex {{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)}^{m}}=\left( {\sqrt[n]{{{{a}^{m}}}}} \right),~$dla $latex n>1~$i $latex n\in N$ oraz $latex a>0$

Przykład 3

Oblicz:
a) $latex {{\left( {\sqrt{5}} \right)}^{2}}$
b) $latex {{\left( {\sqrt{3}} \right)}^{4}}$
c) $latex {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^{6}}$
d) $latex \left( {\sqrt{{{{4}^{3}}}}} \right)$
e) $latex {{\left( {\sqrt[8]{{81}}} \right)}^{2}}$
f) $latex {{\left( {\sqrt[3]{{\sqrt{{125}}}}} \right)}^{2}}$
g) $latex \sqrt{{\sqrt{{625}}}}$
h)$latex \sqrt{{{{3}^{{10}}}~}}$
i) $latex \sqrt[3]{{\sqrt{{{{{25}}^{3}}}}}}$
j) $latex \sqrt[3]{{\sqrt[4]{{{{{81}}^{6}}}}}}$
k) $latex \sqrt{{\sqrt[5]{{{{{32}}^{4}}}}}}$
l) $latex {{\left( {\sqrt{{\sqrt[3]{{121}}}}} \right)}^{3}}$

Prawa działań na potęgach

Niech $latex m,n\in R$ oraz $latex a,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }b>0$.
a) $latex {{a}^{m}}\cdot {{a}^{n}}={{a}^{{m+n}}}$
b) $latex \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{a}^{n}}}}={{a}^{{m-n}}}$
c) $latex {{\left( {{{a}^{m}}} \right)}^{n}}={{a}^{{m\cdot n}}}$
d) $latex {{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}={{\left( {a\cdot b} \right)}^{n}}$
e) $latex \frac{{{{a}^{n}}}}{{{{b}^{n}}}}={{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{n}}$

Przykład 4

Oblicz, a następnie ustal czy otrzymany wynik jest liczbą wymierną czy niewymierną.
a) $latex {{5}^{{\frac{3}{2}}}}\cdot {{5}^{{\frac{1}{2}}}}$
b) $latex {{8}^{{\frac{3}{4}}}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }:{{8}^{{\frac{1}{4}}}}$
c) $latex {{4}^{{\frac{2}{3}}}}\cdot {{2}^{{\frac{2}{3}}}}$
d) $latex {{14}^{{\frac{3}{2}}}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }:{{7}^{{\frac{3}{2}}}}$
e) $latex {{\left( {{{8}^{{\frac{3}{2}}}}} \right)}^{{\frac{4}{9}}}}$

Przykład 5

Oblicz:
a) $latex {{24}^{{\frac{2}{3}}}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }:{{3}^{{\frac{2}{3}}}}$
b) $latex {{12}^{{\frac{3}{2}}}}\cdot {{3}^{{\frac{3}{2}}}}$
c) $latex {{12}^{{\frac{3}{2}}}}\cdot {{3}^{{\frac{1}{2}}}}$
d) $latex {{4}^{{\frac{4}{3}}}}:{{250}^{{\frac{2}{3}}}}$

Przykład 6

Oblicz:
a) $latex 2\cdot {{16}^{{-1,5}}}\cdot {{32}^{{1,2}}}$
b) $latex {{\left( {{{3}^{{\frac{1}{3}}}}\cdot {{{27}}^{{\frac{2}{3}}}}\cdot {{3}^{{-2}}}} \right)}^{{-\frac{3}{4}}}}$

Przykład 7

Zapisz liczbę w postaci jednej potęgi o wykładniku wymiernym:
• $latex \sqrt{3}$;
• $latex \sqrt{{\frac{1}{3}}}$;
• $latex \sqrt[3]{5}$;
• $latex \sqrt[5]{8}$
• $latex 7\sqrt{{7\sqrt{7}}}$;
• $latex 9\sqrt{{3\sqrt[3]{3}}}$;
• $latex \sqrt[4]{{\sqrt[3]{3}}}\cdot \sqrt{{3\sqrt{3}}}$;
• $latex 25\sqrt[6]{{5\sqrt{5}}}$

Przykład 8

Wykonaj działania i zapisz wynik w postaci jednej potęgi o wykładniku wymiernym.
a) $latex \frac{{{{9}^{3}}\cdot {{{81}}^{{\frac{1}{4}}}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }:\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt[5]{{243}}}}{{{{{729}}^{{-\frac{3}{4}}}}\cdot {{{27}}^{{\frac{5}{3}}}}}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
b) $latex \frac{{{{6}^{{\frac{2}{3}}}}\cdot {{{216}}^{{-\frac{5}{3}}}}:\sqrt[4]{{{{6}^{8}}}}}}{{5\cdot {{6}^{{\frac{3}{4}}}}+{{6}^{{\frac{3}{4}}}}}}$

Przykład 9

Oblicz:
a) $latex {{2}^{{\frac{1}{2}}}}\cdot {{8}^{{\frac{1}{2}}}}+{{12}^{{\frac{1}{2}}}}\cdot {{3}^{{\frac{1}{2}}}}$
b) $latex {{5}^{{\frac{1}{2}}}}\cdot {{5}^{{\frac{1}{2}}}}+{{32}^{{\frac{1}{2}}}}\cdot {{2}^{{\frac{1}{2}}}}$
c) $latex {{108}^{{\frac{1}{3}}}}\cdot {{2}^{{\frac{1}{3}}}}+{{5}^{{\frac{1}{3}}}}\cdot {{25}^{{\frac{1}{3}}}}$
d) $latex {{4}^{{\frac{1}{3}}}}\cdot {{16}^{{\frac{1}{3}}}}+{{3}^{{\frac{1}{3}}}}\cdot {{9}^{{\frac{1}{3}}}}$

Przykład 10

Oblicz:
a) $latex {{625}^{{0,25}}}-1,5\cdot {{100}^{{1,5}}}+{{0,25}^{{-2,5}}}~$
b) $latex 0,5\cdot {{216}^{{\frac{2}{3}}}}+{{\left( {{{{5,27}}^{{-3}}}} \right)}^{0}}-{{81}^{{0,75}}}\cdot {{0,5}^{{-1}}}$
c) $latex \left[ {{{{\left( {{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}}^{{-\left( {\frac{4}{3}} \right)}}}} \right)}}^{{\frac{2}{3}}}}-1,5:{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}}^{{\frac{1}{9}}}}} \right]\cdot {{121}^{{\frac{5}{8}}}}$

Przykład 11

Wiedząc, że przybliżenie liczby $latex {{10}^{{0,3}}}~$jest równe 1,955262315… wyznacz przybliżenia liczb
a) $latex {{10}^{{-0,7}}}$
b) $latex {{10}^{{1,3}}}$
c) $latex {{10}^{{2,3}}}$
d) $latex {{10}^{{-1,7}}}$

Zadanie Maturalne 1

Zadanie 1. [czerwiec 2013]
Liczba $latex {{\left( {\sqrt[3]{{16}}\cdot {{4}^{{-2}}}} \right)}^{3}}$ jest równa:
A. $latex 4$
B. $latex {{4}^{{-4}}}$
C. $latex {{4}^{{-8}}}$
D. $latex {{4}^{{-12}}}~$

Zadanie Maturalne 2 

Zadanie 2. [sierpień 2018]
Liczba $latex \sqrt{{\sqrt[3]{2}}}~$jest równa:
A. $latex {{2}^{{\frac{1}{6}}}}$
B. $latex {{2}^{{\frac{1}{5}}}}$
C. $latex {{2}^{{\frac{1}{3}}}}$
D. $latex {{2}^{{\frac{2}{3}}}}$