'

Prawdopodobieństwo klasyczne

Twierdzenie 1

Jeśli przestrzeń zdarzeń elementarnych $latex \Omega $ jest skończona i wszystkie zdarzenia są jednakowo prawdopodobne oraz $latex A$ jest dowolnym zdarzeniem tej przestrzeni, to $latex P\left( A \right)=\frac{A}{\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }}$ gdzie $latex P\left( A \right)$ oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia $latex A$.

Przykład 1

Rzucamy jeden raz symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
a) parzystej liczby oczek.
b) liczby oczek podzielnej przez $latex 3$.
c) liczby oczek nieparzystej i podzielnej przez $latex 3$.
d) liczby oczek nieparzystej lub podzielnej przez $latex 3$.

Przykład 2

Ze zbioru liczb $latex \left\{ {1,~2,~3,\ldots ,~12} \right\}$ wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
a) liczby nieparzystej.
b) liczby podzielnej przez $latex 3$.
c) liczby podzielnej przez $latex 5$.
d) liczby podzielnej przez $latex 6$.
e) liczby parzystej lub podzielnej przez $latex 3$.
f) liczby podzielnej przez $latex 2$ i $latex 5$.
g) liczby pierwszej.
h) liczby podzielnej przez $latex 4$ lub liczby podzielnej przez $latex 6$.
i) liczby podzielnej przez $latex 4$ i przez $latex 6$.

Przykład 3

Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką w kształcie czworościanu foremnego. Na ściankach kostki znajdują się oczka od $latex 1$ do $latex 4$. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
$latex A$ – suma liczby oczek w obu rzutach jest równa $latex 5$. $latex B$ – suma liczby oczek w dwóch rzutach jest nie mniejsza niż $latex 6$.

Przykład 4

Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
a) sumy oczek większej od $latex 9$.
b) sumy oczek mniejszej od $latex 6$.
c) nieparzystej sumy oczek.
d) sumy oczek równej $latex 6$.
e) iloczynu oczek równego $latex 6$.
f) wartości bezwzględnej różnicy liczby oczek równej $latex 1$.

Przykład 5

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a) orzeł wypadnie dokładnie raz.
b) orzeł wypadnie co najwyżej raz.
c) reszka wypadnie co najmniej raz.
d) za drugim razem wypadnie reszka, a za trzecim orzeł.
e) wypadnie mniej orłów niż reszek.
f) reszka wypadnie co najmniej dwa razy.

Przykład 6

Z talii składającej się z $latex 52$ kart wybieramy losowo jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
a) damy.
b) karty koloru pik.
c) króla lub damy lub karty koloru trefl.
d) karty młodszej od $latex 4$.
e) karty koloru kier lub asa.

Przykład 7

Ze zbioru cyfr $latex \left\{ {4,~5,~6,~7,} \right\}$ losujemy kolejno ze zwracaniem dwie cyfry i tworzymy liczbę dwucyfrową.
a) Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne tego doświadczenia losowego.
b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
$latex A$ – utworzona liczba jest mniejsza od $latex 65.$
$latex B$ – utworzona liczba jest podzielna przez $latex 5$.
$latex C$ – suma cyfr tej liczby jest liczbą pierwszą.
$latex D$ – suma cyfr tej liczby jest liczbą nieparzystą.

Przykład 8

Ze zbioru cyfr $latex \left\{ {5,~6,~7,~8} \right\}$ losujemy kolejno bez zwracania dwie cyfry i tworzymy liczbę dwucyfrową.
a) Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
$latex A$ – utworzona liczba jest niemniejsza niż $latex 67$.
$latex B$ – utworzona liczba jest parzysta.
$latex C$ – utworzona liczba jest podzielna przez $latex 3$.
$latex D$ – różnica cyfr tej liczby jest podzielna przez $latex 2$.
$latex E$ – suma cyfr tej liczby jest liczbą parzystą.

Przykład 9

Na loterii jest $latex 50$ losów, w tym $latex 15$ wygrywających. Kupujemy $latex 1$ los.
a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że będzie to los wygrywający.
b) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że będzie to los wygrywający, jeżeli przed nami kupiono już $latex 6$ losów i były to losy wygrywające.

Przykład 10

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $latex A$ polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez $latex 12$. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego