Proporcjonalność odwrotna [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Definicja 1
Zależność między dwiema dodatnimi wielkościami $latex x$ i $latex y$ daną wzorem $latex y=\frac{a}{x}$, gdzie $latex a>0$ jest stałą, nazywamy proporcjonalnością odwrotną.
Wielkości $latex x,~y$ nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi a liczbę $latex a$ – współczynnikiem proporcjonalności.
Jeśli wielkości $latex x$ i $latex y$ są odwrotnie proporcjonalne to ich iloczyn jest stały.
Przykład 1
Sprawdź czy podane wielkości w tabelce są odwrotnie proporcjonalne:
Przykład 2
a) Niech $latex x$ i $latex y$ oznaczają długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o polu równym $latex 13$. Czy wielkości $latex x$ i $latex y$ są odwrotnie proporcjonalne?
b) Niech $latex x$ i $latex y$ oznaczają długości boków prostokąta o polu równym $latex P$. Czy te wielkości są odwrotnie proporcjonalne?
Przykład 3
Wielkości $latex x$ i $latex y$ są odwrotnie proporcjonalne. Uzupełnij tabelę oraz wyznacz wzór proporcjonalności odwrotnej.
Średnia prędkość i czas potrzebny na przebycie ustalonego odcinka drogi są odwrotnie proporcjonalne.
Przykład 4
Zależność między czasem $latex t$ potrzebnym na pokonanie drogi $latex 240~km$, a średnią prędkością $latex v$ opisuje wzór: $latex t=\frac{{240}}{v}$. Uzupełnij tabelkę zamieszczoną w filmie:
Przykład 5
Do wykresu proporcjonalności odwrotnej $latex y=\frac{a}{x}$ należy punkt $latex S$. Wyznacz $latex a$ oraz podaj wzór proporcjonalności odwrotnej.
a) $latex \text{S}\left( {3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4} \right)$
b) $latex \text{S}\left( {3,\frac{1}{{12}}} \right)$
c) $latex \text{S}\left( {\sqrt{7},\sqrt{7}} \right)$
d) $latex \text{S}\left( {\sqrt{2}-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{2}+1} \right)$
Przykład 6
Wyznacz parametr $latex k$ tak, aby punkt $latex A$ należał do wykresu funkcji $latex y=\frac{{30}}{x}$.
a) $latex \text{A}\left( {15,\text{ }\!\!~\!\!\text{ k}} \right)$
b) $latex \text{A}\left( {\text{k},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }60} \right)$
c) $latex \text{A}\left( {2\text{k},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }10} \right)$
d) $latex \text{A}\left( {1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{k}}^{2}}+5} \right)$
Przykład 7
Do wykresu funkcji $latex y=\frac{{36}}{x},~x>0$ należą punkty o obu współrzędnych całkowitych. Wyznacz współrzędne tych punktów.
Przykład 8
a) $latex \text{x}\cdot \text{y}=8$
b) $latex \text{x}\cdot \text{y}=15$
c) $latex \text{x}\cdot \text{y}=30$
Przykład 9
Naszkicuj wykres funkcji $latex y=\frac{{12}}{x}$ dla $latex x\in \left\{ {1,~2,~3,~4,~6,~12} \right\}.$
Przykład 10
Rozpatrzmy prostokąty o polu 8, którego długości boków są równe $latex x,~y$.
a) Napisz wzór funkcji określającej długość boku $latex y$ w zależności od długości boku $latex x$.
b) Naszkicuj wykres tej funkcji.
Przykład 11
Rozpatrzmy równoległoboki o polu równym 10, którego jeden bok ma długość $latex x$, a wysokość poprowadzona na ten bok jest równa $latex y$.
a) Napisz wzór funkcji określającej wysokość $latex y$ w zależności od boku długości $latex x$.
b) Naszkicuj wykres tej funkcji.