'

Przedziały liczbowe

Przypomnijmy

• Jeśli a jest liczbą mniejszą od liczby b, będziemy zapisywać $latex a<b$.

• Jeśli a jest liczbą większą od liczby b, będziemy zapisywać $latex a>b$.

• Jeśli a jest mniejsze od b lub a jest równe b, to powiemy, że a jest nie większe od b, co zapisujemy jako $latex a\le b$.

• Jeśli a jest większe od b lub a jest równe b, to powiemy, że a jest nie mniejsze od b, co zapisujemy jako $latex a\ge b$.
Nierówność podwójna: $latex a<b<c$ będzie oznaczała $latex a<b$ i $latex b<c$.
Nierówność $latex a\le b\le c$ oznacza $latex a\le b$ i $latex b\le c$.

Określenie przedziałów

Przedziały to takie podzbiory zbioru liczb rzeczywistych, które na osi liczbowej zaznaczone są jako odcinki lub półproste. Omówimy je teraz dokładniej.

$latex \left( {a,b} \right):=\{x:\text{ }\!\!~\!\!\text{ }x\in \text{ }\!\!~\!\!\text{ }R\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\wedge \text{ }\!\!~\!\!\text{ }a<x<b\}$ przedział (obustronnie) otwarty

$latex\left.\langle a,b \right.\rangle :=\left\{ {x:x\in R\wedge a\le x\le b} \right\}$ przedział (obustronnie) domknięty

$latex \left.\langle  a,b \right):=\left\{ {x:x\in R\wedge a\le x<b} \right\}$ przedział lewostronnie domknięty

$latex \left( {a,b} \right.\rangle:=\left\{ {x:x\in R\wedge a<x\le b} \right\}$ przedział lewostronnie otwarty (nazywany też prawostronnie domkniętym)

Przedziały nieograniczone

$latex \left( {a,+\infty } \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }:=\left\{ {x:x\in R\wedge x>a} \right\}$ – przedział lewostronnie otwarty nieograniczony

$latex \left.\langle {a,+\infty } \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }:=\left\{ {x:x\in R\wedge x\ge a} \right\}$ – przedział lewostronnie domknięty nieograniczony

$latex \left. {(-\infty ,a} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }:=\left\{ {x:x\in R\wedge x<a} \right\}$ – przedział prawostronnie otwarty nieograniczony

$latex \left. {(-\infty ,a} \right.\rangle\text{ }\!\!~\!\!\text{ }:=\left\{ {x:x\in R\wedge x\le a} \right\}$ – przedział prawostronnie domknięty nieograniczony

Przykład 1

Zaznacz na osi liczbowej oraz zapisz jako przedział zbiór liczb spełniających warunek:
a) $latex 1<\text{x}<5$
b) $latex 2\le \text{x}<7$
c) $latex 3<\text{x}\le 5$
d) $latex -2\le \text{x}\le 3$
e) $latex \text{x}\ge \sqrt{3}$
f) $latex \text{x}>7\frac{1}{2}$
g) $latex \text{x}<-2$
h) $latex \text{x}\ge 4$

Przykład 2

Wypisz wszystkie liczby naturalne należące do przedziału:
a) $latex \left.\langle {-2,10} \right)$
b) $latex \left.\langle {-4,4} \right.\rangle$
c) $latex \left( {3,6} \right)$

Przykład 3

Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich:
a) Liczb dodatnich, których odległość od zera jest mniejsza od 7.
b) Liczb ujemnych, których odległość od zera jest nie większa niż 7.
c) Liczb nieujemnych, których odległość od zera jest większa od 5.
d) Liczb niedodatnich, których odległość od zera jest nie mniejsza niż 3.

Przykład 4

Zapisz przedział, do którego należą liczby:
a) Odległe od liczby zero o mniej niż 6.
b) Odległe od liczby 0 o więcej niż 3.
c) Odległe od liczby 1 o nie mniej niż 3.
d) Odległe od liczby $latex -\frac{1}{2}$ o nie więcej niż $latex \frac{3}{4}$.

Przykład 5

a) $latex \sqrt{\text{x}}\in \left.\langle 0,~3 \right.\rangle$
b) $latex \sqrt{\text{x}}\in \left.\langle 3,~4 \right)$
c) $latex \sqrt[3]{\text{x}}\in \left( {-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-1} \right)$
d) $latex \sqrt[3]{\text{x}}\in \left( {0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right.\rangle$

Przykład 6

Sprawdź, czy zachodzi któraś z zależności: $latex A\subset B,~B\subset \text{A}$.
a) $latex \text{A}=-7,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5);~\text{B}=(-7,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3$
b) $latex \text{A}=\left( {-\infty ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right);\text{B}=(-4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2$
c) $latex \text{A}=\left( {-\frac{3}{4},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{3}{8}} \right);\text{B}=\left( {-\frac{5}{9},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{2}{9}} \right)$
d) $latex \text{A}=\left( {3,14;8} \right);\text{B}=\left( {\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ },\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{{65}}} \right)$

Przykład 7

Podaj najdłuższy przedział domknięty, którego końce są liczbami całkowitymi, i który jest zawarty w przedziale:
a) $latex \left( {-3\frac{5}{8},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4} \right)$
b) $latex \left( {-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ },\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1} \right)$
c) $latex \left( {-2\frac{8}{9},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2\frac{1}{8}} \right)$
d) $latex \left( {-\sqrt{5},\sqrt{5}} \right)$

Przykład 8

Wyznacz liczbę, która leży w jednakowej odległości od końców przedziału:
a) $latex \left( {-4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4} \right)$
b) $latex \left( {-4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right)$
c) $latex \left( {2\sqrt{3},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }7\sqrt{3}} \right)$
d) $latex \left( {2\frac{1}{4},5\frac{3}{4}} \right)$

Przykład 9

Zapisz warunki, które spełniają punkty należące do figur P, Q, R.