'

Przesunięcie wykresu funkcji kwadratowej y=ax^2 wzdłuż osi OX i OY

Wstęp

Wykresem funkcji $latex f\left( x \right)=a{{\left( {x-p} \right)}^{2}}+q$, gdzie $latex a\ne 0$, jest parabola o wierzchołku w punkcie $latex \left( {p,~q} \right)$.

Przykład 1

Naszkicuj wykres funkcji $latex f$ i określ jej zbiór wartości:
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-2$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-{{\text{x}}^{2}}+3$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\text{x}}^{2}}-1$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-2{{\text{x}}^{2}}+3$

Przykład 2

Naszkicuj wykres funkcji $latex f$ i określ zbiór wartości oraz podaj przedziały monotoniczności:
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\left( {\text{x}-2} \right)}^{2}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\left( {\text{x}+1} \right)}^{2}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-{{\left( {\text{x}+3} \right)}^{2}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-2{{\left( {\text{x}-4} \right)}^{2}}$

Przykład 3

Naszkicuj wykres funkcji $latex f$. Podaj współrzędne wierzchołka otrzymanej paraboli oraz następujące własności:
a) zbiór wartości,
b) przedziały monotoniczności,
c) równanie osi symetrii,
d) wartość najmniejszą i największą.

I. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{2}{{\left( {\text{x}-3} \right)}^{2}}+2$
II. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-{{\left( {\text{x}+1} \right)}^{2}}-3$
III. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-{{\left( {\text{x}+4} \right)}^{2}}+1$
IV. $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\left( {\text{x}-1} \right)}^{2}}-4$

Własności funkcji $latex f(x)=a(x-p)^2+q$

Przykład 4

Na podstawie wzoru funkcji omów następujące własności:
1) jak są skierowane ramiona paraboli,
2) zbiór wartości,
3) przedziały monotoniczności,
4) równanie osi symetrii.

a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=3{{\left( {\text{x}+7} \right)}^{2}}-10$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-6{{\left( {\text{x}-4} \right)}^{2}}+5$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=4{{\left( {\text{x}+8} \right)}^{2}}+9$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-\frac{2}{3}{{\left( {\text{x}+5} \right)}^{2}}-3$