'

Równania kwadratowe – powtórzenie

Wprowadzenie

Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.

Przykład 1

Rozwiąż równania:
a) $latex {{x}^{2}}+2\sqrt{3}x+3=0$
b) $latex 4{{x}^{2}}+4x+1=0$
c) $latex {{x}^{2}}-x+\frac{1}{4}=0$
d) $latex {{x}^{2}}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{{36}}=0$
e) $latex \frac{9}{4}{{x}^{2}}-3x+1=0$

Przykład 2

Rozwiąż równania:
a) $latex 2{{x}^{2}}+8x=0$
b) $latex 5{{x}^{2}}+x=0$
c) $latex {{x}^{2}}+7x=0$
d) $latex 14{{x}^{2}}-21x=0$
e) $latex \frac{9}{4}{{x}^{2}}-\frac{1}{8}x=0$
f) $latex \frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{4}x=0$

Przykład 3

Rozwiąż równanie:
a) $latex 9{{x}^{2}}-16=0$
b) $latex {{x}^{2}}-7=0$
c) $latex 25{{x}^{2}}-\frac{{16}}{9}=0$
d) $latex -3{{x}^{2}}+4=0$
e) $latex -49{{x}^{2}}+25=0$

Twierdzenie 1

Rozważmy równanie kwadratowe $latex a{{x}^{2}}+bx+c=0,~a\ne 0.$
• Jeśli , to równanie ma dwa pierwiastki:
•Jeśli , to równanie ma jeden pierwiastek
$latex {{x}_{0}}=\frac{{-b}}{{2a}}$
• Jeśli , to równanie nie ma pierwiastków.

Przykład 4

Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego. Podaj liczbę rozwiązań równania.
a) $latex {{x}^{2}}+4x+6=0$
b) $latex {{x}^{2}}+x+2=0$
c) $latex {{x}^{2}}-7x+12=0$
d) $latex 4{{x}^{2}}+4x+1=0$
e) $latex {{x}^{2}}+7x+10=0$

Przykład 5

Rozwiąż równanie:
a) $latex {{x}^{2}}-x-2=0$
b) $latex {{x}^{2}}-3x+2=0$
c) $latex -2{{x}^{2}}+2x+24=0$
d) $latex {{x}^{2}}-14x+24=0$
e) $latex {{x}^{2}}-3x-10=0$
f) $latex 2{{x}^{2}}-7x+5=0$
g) $latex \frac{1}{4}{{x}^{2}}-\frac{x}{3}+\frac{1}{9}=0$

Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Dany jest trójmian kwadratowy $latex f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c.$
• Jeśli , to trójmian można przedstawić w postaci iloczynowej
$latex f\left( x \right)=a\left( {x-{{x}_{1}}} \right)\left( {x-{{x}_{2}}} \right)$, gdzie $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ są pierwiastkami tego trójmianu
• Jeśli , to trójmian można przedstawić w postaci iloczynowej
$latex f\left( x \right)=a{{\left( {x-{{x}_{0}}} \right)}^{2}}$, gdzie $latex {{x}_{0}}$ jest pierwiastkiem podwójnym tego trójmianu.
• Jeśli , to trójmianu nie można przedstawić w postaci iloczynowej.

Przykład 6

Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeżeli jest to możliwe.
a) $latex f\left( x \right)=4{{x}^{2}}-13x+3$
b) $latex f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-6x-6$
c) $latex f\left( x \right)={{x}^{2}}+x+\frac{1}{2}$
d) $latex f\left( x \right)={{x}^{2}}+4x-5$
e) $latex f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-9x+4$
f) $latex f\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( {\sqrt{2}+1} \right)x+\sqrt{2}$

Przykład 7

Dany jest prostokąt o bokach długości $latex x~\text{cm}$ i $latex \left( {x+3} \right)~cm$ oraz polu równym $latex 238~c{{m}^{2}}$. Oblicz obwód tego prostokąta.

Przykład 8

Dany jest prostokąt o bokach długości $latex \left( {x-2} \right)~cm$ i $latex \left( {x+4} \right)~cm$ oraz przekątnej równej $latex \left( {x+8} \right)~cm$. Oblicz pole tego prostokąta.