'

Równość funkcji

Definicja

Funkcjami równymi nazywamy funkcje, które mają taką samą dziedzinę i dla każdego argumentu należącego do tej dziedziny wartości obu funkcji są równe.

Przykład 1

Sprawdź czy funkcje $latex f\left( x \right)=\frac{{{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}+9}}{{{{x}^{2}}+3}}$ oraz $latex \text{ }\!\!~\!\!\text{ }g\left( x \right)={{x}^{2}}+3$ są równe.

Przykład 2

Sprawdź czy funkcje $latex f\left( x \right)=2x$, gdzie $latex x\in \langle -1,~3 \rangle$ oraz $latex g\left( x \right)=2\left| x \right|$, gdzie $latex x\in \langle -1,~3\rangle $ są równe.

Przykład 3

Zbadaj czy funkcje $latex f\left( x \right)=\frac{{4x+8}}{{x+2}}$ i $latex g\left( x \right)=4$ są równe. Naszkicuj wykresy tych funkcji.

Przykład 4

Sprawdź, czy funkcje $latex f$ oraz $latex g$ są równe:
$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{2}{{\left| \text{x} \right|}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ g}\left( \text{x} \right)=\frac{{2~\text{sgn} \text{x}}}{\text{x}}$
$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}-16}}{{\text{x}-4}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ g}\left( \text{x} \right)=\text{x}+4$
$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-5\text{x},\text{ }\!\!~\!\!\text{ g}\left( \text{x} \right)=-5\sqrt{{{{\text{x}}^{2}}}}$
$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\sqrt{{{{\text{x}}^{2}}-10\text{x}+25}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ g}\left( \text{x} \right)=\left| {5-\text{x}} \right|$

Przykład 5

Udowodnij, że funkcje $latex f$ oraz nie są równe:
$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=3\sqrt{{{{\text{x}}^{2}}}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ g}\left( \text{x} \right)={{\left( {\sqrt{{3\text{x}}}} \right)}^{2}}$
$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}-12\text{x}+36}}{{\text{x}-6}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ g}\left( \text{x} \right)=\text{x}-6$
$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left\{ {\begin{matrix} {1~\text{dla}~x\ge 3} \\ {-1~\text{dla}~x<3} \end{matrix}} \right.,\text{ }\!\!~\!\!\text{ g}\left( \text{x} \right)=\text{sgn} \left( {\text{x}-3} \right)$

Przykład 6

Wykaż, że funkcje $latex f$ i $latex g$ są równe, jeśli:
$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\sqrt{{{{\text{x}}^{2}}+8\text{x}+16}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ g}\left( \text{x} \right)=\left| {\text{x}+4} \right|$
$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{4}}-49}}{{{{\text{x}}^{2}}+7}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ g}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}-7$
$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{4}}+4{{\text{x}}^{2}}+4}}{{3{{\text{x}}^{2}}+6}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ g}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}+2}}{3}$
$latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left| {8-\text{x}} \right|}}{{\text{x}-8}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ g}\left( \text{x} \right)=\left\{ {\begin{matrix} {-1~\text{dla}~x\in \left( {-\infty ,~8} \right)} \\ {1~\text{dla}~x\in \left( {8,~+\infty } \right)} \end{matrix}} \right.$

Przykład 7

Sprawdź, czy funkcje $latex f$ oraz $latex g$ są równe
$latex f\left( x \right)=\left\{ {\begin{matrix} {(4x+\left| x \right|~\text{dla}~x\ge 0} \\ {-\left( {3x+2\left| x \right|} \right)~\text{dla}~x<0} \end{matrix}} \right.,\text{ }\!\!~\!\!\text{ g}\left( \text{x} \right)=\left| \text{x} \right|$