Rozszerzona Matura próbna CKE 2020 – odpowiedzi i rozwiązania
Zadanie 1
Niech $latex L={{\log }_{{\sqrt{2}}}}2\cdot {{\log }_{2}}\sqrt{3}\cdot {{\log }_{{\sqrt{3}}}}4$. Wtedy
A. $latex \text{L}=1$
B. $latex \text{L}=2$
C. $latex \text{L}=3$
D. $latex \text{L}=4$
Zadanie 2
Okrąg o równaniu $latex {{\left( {x-3} \right)}^{2}}+{{\left( {y+7} \right)}^{2}}=625$ jest styczny do okręgu o środku $latex S=\left( {12,~5}\right)$
i promieniu $latex r$. Wynika stąd, że
A. $latex \text{r}=5$
B. $latex \text{r}=15$
C. $latex \text{r}=10$
D. $latex \text{r}=20$
Zadanie 3
Liczba $latex \sqrt{{{{{\left( {1-\sqrt{2}} \right)}}^{2}}}}+\sqrt{{{{{\left( {2-\sqrt{2}} \right)}}^{2}}}}$ jest równa
A. $latex 1$
B. $latex -1$
C. $latex 3-2\sqrt{2}$
D. $latex 2\sqrt{2}+1$
Zadanie 4
Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.
A. $latex \left| {\frac{3}{4}\text{x}+5} \right|<2$
B. $latex \left| {\frac{4}{3}\text{x}+5} \right|<2$
C. $latex \left| {\frac{3}{5}\text{x}+4} \right|<2$
D. $latex \left| {\frac{4}{5}\text{x}+3} \right|<2$
Zadanie 5
Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $latex f\left( x \right)=\frac{{{{x}^{2}}}}{{x-1}}$, określonej dla każdej liczby rzeczywistej $latex x\ne 1,$ poprowadzonej w punkcie $latex A=\left( {6,\frac{{36}}{5}} \right)$ tego wykresu. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności, pierwszą i drugą cyfrę po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 6
W trójkącie $latex ABC$ kąt $latex BAC$ jest dwa razy większy od kąta $latex ABC$. Wykaż, że prawdziwa jest równość
$latex {{\left| {BC} \right|}^{2}}-{{\left| {AC} \right|}^{2}}=\left| {AB} \right|\cdot \left| {AC} \right|$
Zadanie 7
Udowodnij, że dla każdego kąta $latex \alpha \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ prawdziwa jest nierówność
$latex \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}-\alpha } \right)\cdot \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}+\alpha } \right)<\frac{1}{4}$
Zadanie 8
Wykaż, że równanie $latex {{x}^{8}}+{{x}^{2}}=2\left( {{{x}^{4}}+x-1} \right)$ ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste $latex x=1$.
Zadanie 9
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru $latex \left\{ {0,~1,~3,~5,~7,~9} \right\}$, losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa $latex 3$.
Zadanie 10
Dany jest rosnący ciąg geometryczny $latex \left( {a,~aq,~a{{q}^{2}}} \right)$, którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o $latex 4$, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz $latex aq$ tego ciągu.
Zadanie 11
Dany jest nieskończony ciąg okręgów $latex \left( {{{o}_{n}}} \right)$ o równaniach $latex {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{{11-n}}},$ $latex n\ge 1.$
Niech $latex {{P}_{k}}$ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem $latex {{o}_{{2k-1}}}$ i wewnętrznym okręgiem $latex {{o}_{{2k}}}$. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni $latex {{P}_{k}}$, gdzie $latex k\ge 1$.
Zadanie 12
Trapez prostokątny $latex ABCD$ o podstawach $latex AB$ i $latex CD$ jest opisany na okręgu. Ramię $latex BC$ ma długość $latex 10$, a ramię $latex AD$ jest wysokością trapezu. Podstawa $latex AB$ jest $latex 2$ razy dłuższa od podstawy $latex CD$. Oblicz pole tego trapezu.
Zadanie 13
Wierzchołki $latex A$ i $latex B$ trójkąta prostokątnego $latex ABC$ leżą na osi $latex OY$ układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków $latex AB$, $latex BC$ i $latex CA$ w punktach – odpowiednio – $latex P=\left( {0,~10} \right)$, $latex Q=\left( {8,~6} \right)$ i $latex R=\left( {9,~13} \right)$. Oblicz współrzędne wierzchołków $latex A,~~B$ i $latex C$ tego trójkąta.
Zadanie 14
Wyznacz wszystkie wartości parametru $latex m$, dla których równanie
$latex {{x}^{2}}-3mx+\left( {m+1} \right)\left( {2m-1} \right)=0$
ma dwa różne rozwiązania $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ spełniające warunki: $latex {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\ne 0$ oraz $latex 0<\frac{1}{{{{x}_{1}}}}+\frac{1}{{{{x}_{2}}}}\le \frac{2}{3}$.
Zadanie 15
Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu
o podstawie kwadratu o boku długości $latex x$. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.
a) Wyznacz objętość $latex V$ drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej $latex x$.
b) Wyznacz dziedzinę funkcji $latex V$.
c) Oblicz tę wartość $latex x$, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja $latex V$ osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.