Rozwiązywanie nierówności [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Przykład 1
Sprawdź czy podane obok nierówności liczby należą do zbioru rozwiązań tej nierówności:
a) $latex 6-{{x}^{2}}>x+3;$ $latex ~~~~0;-10$
b) $latex 4x\left( {x+8} \right)\le 16\left( {x+3} \right);$ $latex ~~~~2;-$7
Definicja 1
Jeśli dwie nierówności mają te same zbiory rozwiązań, te nierówności nazywamy równoważnymi.
Przykład 2
Rozwiąż podane nierówności. Wskaż nierówności równoważne.
a)
$latex \text{I}.~\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{1}{2}x>5$
$latex \text{II}.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }~3,5\left( {x-7} \right)>2,5x-14,5$
$latex \text{III}.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }~x+9<19$
b)
$latex \text{I}.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }~\frac{{x+3}}{2}\le \frac{{x-1}}{3}$
$latex \text{II}.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-\frac{3}{5}\left( {2x-3} \right)\ge \frac{3}{2}$
$latex \text{III}.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-\frac{3}{5}\left( {x+1} \right)\ge 6$
Mnożenie nierówności przez liczbę
• Jeśli obie nierówności pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę dodatnią, to otrzymamy nierówność równoważną.
• Jeśli obie nierówności pomnożymy lub podzielimy przez te samą liczbę ujemną, to po zmianie zwrotu nierówności otrzymamy nierówność równoważną.
Przykład 3
Rozwiąż nierówność:
a) $latex 8x+9\ge 33$
b) $latex 0,2x+2<-\frac{1}{3}$ c) $latex -\frac{1}{4}x\le 3$ d) $latex -4x-6>-22$
Przykład 4
Rozwiąż nierówności:
a) $latex 2\left( {x-1} \right)-3\left( {x-2} \right)<6$
b) $latex -3\left( {2x+4} \right)+x-5\ge -5\left( {x-2} \right)$
c) $latex \frac{{2-8x}}{{15}}\le \frac{{4-x}}{5}-\frac{{x+2}}{3}$
d) $latex \frac{{x+2}}{5}\le \frac{{\frac{{x-2,6}}{3}–2x}}{4}$
e) $latex x-\frac{{x+1}}{2}-\frac{{x-2}}{6}\le \frac{{x+3}}{4}$
f) $latex \frac{{x+2}}{{14}}+\frac{{x-2}}{6}\ge 2$
g) $latex \frac{{x-1}}{4}+\frac{{x-2}}{3}\le \frac{{x-3}}{2}+\frac{{x-4}}{8}$
Przykład 5
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności $latex 2\left( {3-x} \right)>x$
Przykład 6
Zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich liczb, które spełniają jednocześnie obie nierówności:
a) $latex \left\{\begin{matrix} x+3\leq 2x+7\\ 2x+7 < 17 \end{matrix}\right.$
b) $latex \left\{ {\begin{matrix} {4-3\left( {\frac{2}{3}x-1} \right)>2} \\ {\frac{1}{5}x+3>0,1x+0,1} \end{matrix}} \right. $
Przykład 7
Rozwiąż nierówność:
a) $latex \sqrt{7}x+1\ge 8$
b) $latex \sqrt{7}x+2\le 2\sqrt{7}x+1$
c) $latex \sqrt{5}x-4<11-2\sqrt{5}x$
d) $latex \sqrt{2}x>\frac{{3\sqrt{2}}}{2}-1\frac{1}{3}$
Przykład 8
a) Jeśli podwoimy liczbę naturalną $latex n$, od otrzymanego iloczynu odejmiemy 9, następnie otrzymaną różnicę pomnożymy przez 4, to otrzymamy liczbę naturalną mniejszą o 12. Wyznacz wszystkie możliwe wartości $latex n$.
b) Jeśli potroimy liczbę całkowitą ujemną $latex k$, do otrzymanego iloczynu dodamy 9, a uzyskaną sumę pomnożymy przez 5, to otrzymamy liczbę większą od 3. Podaj wszystkie możliwe wartości, które przyjmuje $latex k$.
c) Jeśli od połowy liczby naturalnej $latex n$ odejmiemy szóstą część liczby $latex n$ pomniejszonej o 4, to otrzymamy liczbę mniejszą od 5. Wyznacz możliwe wartości $latex n$.
Przykład 9
Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $latex 7$ cm, a suma długości wszystkich jego krawędzi jest większa niż $latex 68$ cm i mniejsza niż $latex 94$ cm. Jakie wartości naturalne może przyjmować długość krawędzi podstawy?
Przykład 10
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $latex 4$ cm, a suma długości wszystkich jego krawędzi jest większa niż $latex 98$ cm i mniejsza niż $latex 112$ cm. Jakie całkowite wartości może przyjmować wysokość graniastosłupa?
Przykład 11
Wysokość prostopadłościanu jest równa $latex h$ cm, a jego podstawą jest kwadrat o boku $latex 5$ cm, natomiast pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest większe od $latex 90$ $latex \text{c}{{\text{m}}^{2}}$ i mniejsze od $latex 120~\text{c}{{\text{m}}^{2}}$. Jakie całkowite wartości może przyjmować wysokość prostopadłościanu?